Uhin-funtzio

Fotoiaren dentsitate uhinaren propagazioa 2 dimentsiotan.

Mekanika kuantikoan, uhin-funtzioa sistema fisiko bat deskribatzen duen funtzio matematikoa da.

Uhin-funtzioa balio konplexuko probabilitate-anplitude bat da, eta hortik abiatuta, sisteman egindako neurketen balizko emaitzen probabilitateak deriba daitezke. Uhin funtzio baterako sinbolo ohikoenak $\psi$ edo $\Psi$ dira.

Adibidez, Schrödingerren ekuazioan, uhin-funtzioak partikula edo partikula-sistema baten egoera eta bilakaera uhin-ezaugarriak kontuan hartuz definitzen ditu. Bornen interpretazio estatistikoan, uhin funtzioaren normaren karratua, $||\Psi ||^{2}$, aldiune batean partikula bat ${\vec {r}}$ posizio edo ${\vec {p}}$ momentu jakinarekin neurtzeko probabilitate-dentsitate bezala interpretatzen da.

Kantitate honen integralak espazio osoan, $\int _{-\infty }^{\infty }{||\Psi ||^{2}}dx$, 1 izan behar du, probabilitatearen intepretazio arabera. Honi normalizazio baldintza deritzo.

Testuinguru historikoa

1905ean, Albert Einsteinek fotoi baten frekuentziaren eta bere energiaren arteko proportzionaltasuna, $E=h\nu$ ,postulatu zuen, eta 1916an fotoi baten momentuaren eta uhin luzeraren arteko erlazioa zehaztu zuen, $\lambda ={\frac {h}{p}}$non $h$ Planck-en konstantea den.

Erwin Schrödinger, Schrödingerren ekuazioaren garatzailea, 1933an. Urte horretan Nobel saria irabazi zuen Paul Dirac-ekin batera.

Louis de Broglie izan zen aurreko erlazioa, orain de Broglieren erlazioa deritzona, partikula masiboentzat balio duela iradokitzen lehena, zantzu nagusia Lorentzen aldaezintasuna delarik. Hau mekanika kuantikoaren garapen modernoaren abiapuntua izan daiteke. Ekuazioek uhin-korpuskulu dualtasuna adierazten dute, bai masarik gabeko partikulentzat, bai masiboentzat.

1926an, Erwin Schrödingerrek bere uhin ekuazioa argitaratu zuen, Schrödingerren ekuazioa deritzona:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {r}},t)+V({\vec {r}},t)\Psi ({\vec {r}},t)$

Ekuazio hau operadore kuantikoen bidez energiaren kontserbazio klasikoan eta de Broglieren erlazioetan oinarritzen zen, eta ekuazioaren soluzioak sistema kuantikoaren uhin funtzioak ziren. Hala ere, ez zegoen erabat argi nola interpretatu: Hasieran, Schrödingerrek eta beste batzuek pentsatu zuten uhin-funtzioek sakabanatutako partikulak adierazten zituztela, non partikula gehienak funtzioaren balio handieneko tokietan zeuden.

1926an, Bornek probabilitatearen zabaltasunaren perspektiba eman zuen. Honek mekanika kuantikoaren kalkuluak behaketa esperimental probabilistikoekin erlazionatzen ditu zuzenean. Kopenhageko mekanika kuantikoaren interpretazioaren zati bezala onartzen da.

Definizioa

Garapena

Gaur egun Schrödingerren ekuazioa postulatu bat da fisika kuantikoan, baina ekuaziora iristeko modu ikuskor batean honako garapen hau egingo dugu (partikula askearen kasuan), nahiz eta oso formala ez izan:

Uhin-ekuazioa (bai elektromagnetikoa edo uhin mekanikoa denean) dimentsio bakar batean hau da: ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

Soluzioa:

$y(x,t)=A\cos(kx-\omega t)$, non $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$ eta $\omega =vk$

Bestalde, deBroglie-ren postulatuaren arabera:

$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k$

$E=\hbar \omega$ denez, eta $E_{K}={\frac {p^{2}}{2m}}$ dugunez energia zinetiko ez erlatibista, $\omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}$

Beraz, elektroia ezin da adierazi aurreko uhin funtzioarekin, $\omega$ eta $k$-ren arteko erlazioa ez-lineala izan behar delako.

Honako ekuazio hau proposatu egingo dugu:

${\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}$

Ondoko funtzio hau aurreko ekuazioan ordezkatuz: $\Psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t+\delta )}$, $\alpha ={\frac {i\hbar }{2m}}$ lortzen da. Ordezkatuz eta $\hbar$-z biderkatuz:

$i\hbar {\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}$ Schrödingerren uhin-ekuazioa lortu da.

Orain ${\frac {(k\hbar )^{2}}{2m}}=\hbar \omega$ erlazioa ez lineala izatea lortu da.

Hiru dimentsiotan: $i\hbar {\frac {\partial \Psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi ({\vec {r}},t)$, non $\Delta$ Laplacearra den. Hiru dimentsioko soluzioa hauxe da,$\Psi ({\vec {r}},t)=Ae^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}$

Spin-ik gabeko partikularen dimentsio bakarreko uhin-funtzioa

Uhin funtzioa azalzeko lehenik kasu errazena aipatuko dugu: spin-ik gabeko partikula dimentsio bakarrean.

Posizio-denbora uhin funtzioa

Partikula baten posizio-denbora uhin funtzioa honela adierazten da:

$\Psi (x,t)$ , $x$ posizioa izanik, eta $t$ denbora.

Funtzio hau bi aldagai errealeko funtzio konplexua da, zeinak probabilitate anplitudea adierazten duen. Funtzio honen moduluaren karratua kalkulatuz gero, partikulak t aldiunean x posizioan egoteko daukan probabilitate dentsitatea lortuko da:

$|\Psi (x,t)|^{2}=P(x,t)$

Beraz, uhin funtzioak ez duu partikularen posizioa zehazteko gaitasunik ematen, baizik eta partikularen posizioaren probabilitate banaketa deskribatzeko.

Normalizazio baldintza

Jakinik partikula aldiune batean a eta b puntuen artean egoteko probabilitatea honako integral honek definitzen duela:

Funtzio gausdarra funtzio normalizatua da

$P(x,t)=\int _{a}^{b}{|\Psi (x,t)|^{2}}dx$, $x\in [a,b]$

Uhin funtzioa normalizatu daiteke, kontuan edukita partikula hori espazioko edozein tokitan egoteko probabilitatea 1 dela, (%100-ko probabilitatearekin partikula espazioko puntu batean egongo baita) honako integral hau kalkulatuz funtzioaren balio normalizatua lortuko da:

$1=\int _{-\infty }^{\infty }{|\Psi |^{2}}dx=\int _{-\infty }^{\infty }{|A|^{2}}dx$, non $A$ uhinaren anplitudea den.

Uhin funtzioa normalizatuta dagoenean $(\Psi ,\Psi )=1$ da, eta bi uhin funtzio $\Psi _{1}$ eta $\Psi _{2}$ ortogonalak badira, $(\Psi _{1},\Psi _{2})=1$. Gainera, bi funtzio hauek normalizatuta badaude, funtzio ortonormalak dira.

Posizioa eta momentuaren arteko erlazioa

Posizioaren eta momentuaren adierazpenak hurrengoak dira:

${\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}$

$\Psi$ egoeraren proiekzioa, momentuaren funtzio propioetan sartuz eta aurreko bi ekuazioak erabiliz,

$\int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).$

orduan Schrödingerren ekuazio askean erabilitako adierazpena egoera propio normalizatuetarako erabiliz,

$\langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},$

honako hau lortzen da:

$\Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.$

Modu berean, posizioaren funtzio propioak erabiliz,

$\Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.$

Orduan ikusten da, momentu eta posizio funtzioak bata bestearen Fourier transformatuak direla. Bi uhin-funtzioek informazio bera dute, eta bakarra nahikoa da partikularen propietate guztiak kalkulatzeko.

Hilbert espazio fisiko abstraktuaren elementuen ordezkari bezala, non hauen elementuak sistemaren egoerak desberdinak diren, bektore berdina irudikatzen dute. Hauek propietate fisiko berdinak dituzte, baina adierazpenak ez dira berdinak funtzio integral karratu bezala adierazten badira.

Potentzial osina

Sakontzeko, irakurri: «Partikula kutxa batean»

Uhin funtzioak erabiltzeko adibide sinple bat potentzial osin infinituarena da. Demagun $V=0$ potentzialeko eremua dagoela$x\in (0,L)$ tartean, eta tarte horretatik kanpo $V=\infty$ dela.

Potentzial osina (kasu honetan osinetik kanpoko potentziala ez da infinitua)

$V(x)={\begin{cases}\infty ,&x<0\\0,&0<x<L\\\infty ,&L<x\end{cases}}$

Honelako egoera batean aztertzen ari den partikula $x\in (0,L)$ tartean egongo da, eta ezinezkoa da partikula hori tarte horretatik kanpo egotea.

Partikularen posizioaren probabilitate dentsitatea kalkulatu nahi bada, uhin funtzioa lortu behar da, eta osinaren barruan, $V=0$ denez, honako hau da ebatzi beharreko ekuazioa:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}=E\psi (x)$ $\Rightarrow$ ${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi (x)=0$.

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$ definituz, osziladore harmonikoaren ekuazioa lortuko da. Beraz soluzioa erraz lortu daiteke:

$\psi (x)=Asin(kx)+Bcos(kx)$

Orain A eta B ren balioak lortzeko mugalde baldintzak aplikatuko dira. Erraz ikusten da $B=0$ dela, uhin funtzioa jarraitua delako. Bestalde, $V(L)=0$ baldintza betetzeko bi aukera daude: lehenengoa $A=0$ da baina kasu horretan uhin funtzioa nulua da espazio osoan, beraz ezin du partikularen egoera adierazi. Bigarrena honako hau da:

$sin(kL)=0$ → $kL=n\pi$ → $k={\frac {\pi }{L}}n$, $n=1,2,...,\infty$$E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ → $\psi (x)=A_{n}sin{\frac {n\pi x}{L}}$

Funtzioa normalizatuz: $1=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}dx=|A_{n}|^{2}\int \limits _{0}^{L}sin^{2}{\frac {n\pi x}{L}}dx={\frac {L}{2}}$ → $A_{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}$Bestalde, k-ren balioak ordezkatuz energia posibleak lortu daitezke:$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$ eta $k={\frac {\pi }{L}}n$ berdinduz: $E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ lortzen da.

Honela, jada definitu da potentzial osinaren kasua uhin funtzio bakarrarekiko. Honako hauek dira energia posibleak (autobalioak) eta bakoitzari dagozkion autoegoerak: $E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ → $\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}sin{\frac {n\pi x}{L}}$, $(0<x<L)$

$E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ → $\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}sin{\frac {n\pi x}{L}}$, $(0<x<L)$

eta uhin funtzio osoa lortzeko, t aldiunean: $E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ → $\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}sin{\frac {n\pi x}{L}}e^{-i{\frac {E_{n}t}{h}}}$

$E={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}$ → $\Psi _{n}(x,t)={\sqrt {\frac {2}{L}}}sin{\frac {n\pi x}{L}}e^{-i{\frac {E_{n}t}{h}}}$

Potentzial jauzia

Beste adibide bat potentzial jauzia da, kasu honetan berriro dimentsio bakarreko espazioan dago definituta, baina bitan zatitua. Eskualde batean (x<0 adibidez), potentziala nulua da, baina bestean balio konstantea hartzen du ($V_{0}$). Uhin funtzioak lortzeko Schrödingerren ekuazioa ebatzi behar da .

x < 0 gunean, denboraren independentea den ekuazioa hau da:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}=E\psi _{-}(x)$ → ${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{-}(x)=0$

$k_{-}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$ definituz, ondoko soluzioa lortzen da:

$\psi _{-}(x)=Ae^{ik_{-}x}+Be^{-ik_{-}x}$

Berriro ekuazioa x > 0 zatian aplikatuz, $V_{0}$ potentziala dagoenez:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+V_{0}\psi _{+}(x)=E\psi _{+}(x)$ → ${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{+}(x)=0$

Orduan bi kasu ditugu:

Lehenengo kasuan, $E<V_{0}$ denean, eta $k_{+}={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}$ definituz , ekuazioa horrela geratzen da,

$\psi _{+}(x)=Ae^{k_{+}x}+Be^{-k_{+}x}$

Lortutako uhin ekuazioa infiniturantz doanean (x→∞), ezin da dibergentea izan, orduan D=0 izan behar da. Beraz, bakarrik A,B eta C konstanteak geratzen dira, baina uhin-funtzioa eta deribatua jarraituak izan behar da:

$\psi _{-}(0)=\psi _{+}(0)$ → $A+B=C$

${d\psi _{-}(0) \over dx}={d\psi _{+}(0) \over dx}$ → $ik_{-}(A-B)=-Ck_{+}$

B eta C askatuz,

$B={\frac {k_{-}-ik_{+}}{k_{-}+ik_{+}}}A$ , $C={\frac {2k_{-}}{k_{-}+ik_{+}}}A$

Orduan, $E<V_{0}$ denean, ondoko uhin-funtzioak lortzen dira,

$\psi _{-}(x)=Ae^{ik_{-}x}+A{\frac {k_{-}-ik_{+}}{k_{-}+ik_{+}}}e^{-ik_{-}x}$ $x<0$

$\psi _{+}(x)=A{\frac {2k_{-}}{k_{-}+ik_{+}}}e^{-k_{+}x}$ $x>0$

Bigarren kasuan, $E>V_{0}$, hemen $k_{+}={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}$ magnitudea definitzen da, modu berean soluzioa hau da:

$\psi _{+}(x)=Ce^{ik_{+}x}+De^{-ik_{+}x}$

Orain ezin da konstante bat zerotzat hartu, funtzioa infiniturantz doanean dibergentea ez baita. Beste aldetik, berriro funtzioa eta deribatuak jarraituak dira. Honekin 4 konstantetik (A,B,C,D) bi desagertzen dira, beste biak independenteak dira.

$e^{ikx}$ funtzioa ezkerretik eskuinera mugitzen den partikularen uhin-funtzioa da. Modu berean $e^{-ikx}$ alderantziz mugitzen da. Sistema finkatu arren, partikula hasieran ezkerretik eskuinera mugitzen dela onartuko da. Hormara iristen denean partikulak bi aukera ditu, ezkerrerantz itzultzen da edo bere norabidearekin jarraitzen du. Baina eskuinean dagoenean ezin da ezkerretara joan. Kasu honetan D=0 da.

Beste kasu partikular bat hartzekotan; partikula eskuinetik dator. Berriro hormara iristean aurreko bi aukerak ditu,  itzuli eta infinitura joan eskuinerantz edo horma zeharkatu ezkerrerantz. Bigarren kasua aztertuz, A=0 izango da. Hurrengo lerroetan lehenengo kasua aztertuko da:

Berriro uhina eta deribatuak jarraituak direnez,

$\psi _{-}(0)=\psi _{+}(0)$ → $A+B=C$

${d\psi _{-}(0) \over dx}={d\psi _{+}(0) \over dx}$ → $ik_{-}(A-B)=iCk_{+}$

Berriro B eta C askatuz

$B={\frac {k_{-}-k_{+}}{k_{-}+k_{+}}}A$ , $C={\frac {2k_{-}}{k_{-}+k_{+}}}A$

Orduan, $E>V_{0}$ denean, modu berean, ondoko uhin-funtzioak lortzen dira,

$\psi _{-}(x)=Ae^{ik_{-}x}+A{\frac {k_{-}-k_{+}}{k_{-}+k_{+}}}e^{-ik_{-}x}$ $x<0$

$\psi _{+}(x)=A{\frac {2k_{-}}{k_{-}+k_{+}}}e^{ik_{+}x}$ $x>0$

Orduan, ezkerretik datozen partikulak, mugara heltzean ezkerraldera edo eskuinaldera mugitu egin daitezke (islapena edo transmisioa). Bere norabidea aldatzen badu, abiadura ez du moduluz aldaketarik jasango, baina norabidea kontrakoa izango da. Partikulak bere norabidea aldatzen ez badu, honen abiadura hasierako baino txikiagoa izango da.

Uhin-funtzioak eta espazio-funtzioak

Funtzio espazioen kontzeptua berez sartzen da uhin funtzioei buruzko eztabaidan. Espazio funtzio bat, funtzio multzo bat da, normalean funtzioei buruzko zenbait eskakizun zehaztuz (integragarriak badira), batzuetan egitura aljebraikoarekin, (kasu honetan bektore espazioak biderketa eskalarrarekin).

Espazio bektorialen egitura

Superposizio kuantikoaren ondorioak

Uhin-funtzio bat, funtzio espazio baten elementu bat da, honako deskribapen konkretu eta abstraktuekin ezaugarritzen dena:

• Schrödingerren ekuazioa lineala da. Honek esan nahi du, ekuazioaren soluzioak (uhin-funtzioak), batu edo eskalar batekin biderkatu daitezkeela soluzio berri bat osatzeko. Schrödingerren ekuazioaren soluzio multzoa espazio bektorial bat da.
• Mekanika kuantikoaren gainezartze-printzipioa: $\Psi _{1}$ eta $\Psi _{2}$ sistema kuantiko baten bi egoera badira, eta $a,b$ edozein bi zenbaki konplexu badira. Orduan $a\Psi _{1}+b\Psi _{2}$ ere egoera posiblea da. Egoera posible guztien multzoa espazio bektorial bat osatzen dute.

Biderketa eskalarra

Egitura aljebraiko gehigarri bat dago uhin-funtzioen bektore-espazioetan.

• Fisikoki, uhin-funtzio ezberdinak gainezarri daitezke. Sistema bat $\Psi$ egoeran badago eta $\Phi$ egoerarekin gainezartzen ez bada, $\Psi$ neurtzen bada ezinezkoa da $\Phi$ egoeran aurkitzea. Baina $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$,... gainezartzen badira $\Psi$ -rekin, baliteke $\Psi$ deskribatzen duen egoera neurtzerakoan, $\Phi _{1}$, $\Phi _{2}$,... menpe egotea. Horrek esan nahi du zenbait prozesu perspektiba batzuetatik (adibidez energia eta momentuaren kontserbazioa) ez direla gertatzen hasierako eta bukaerako uhin-funtzioak ez direlako gainezartzen.

• Matematikoki, potentzial jakin baterako, Schrödingerren ekuazioaren soluzioak ortogonalak dira nolabait, eta hau, normalean, integral baten bitartez deskribatzen da: $\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}\ dV=\delta _{n,m}$ , non $m$, $n$ indizeak diren (zenbaki kuantikoak), soluzio ezberdinak irudikatuz eta $\delta _{n,m}$ kronecker delta den. Integral hau aztertutako espazio osoan egin behar da.

Bibliografia

• Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (1985). "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles". ISBN 9780471873730
• Rae, A.I.M. (2008). "Quantum Mechanics". Volume 2 (5th ed.). Taylor & Francis Group. ISBN 978-1-5848-89700.
• Griffiths, D. J. (2004). "Introduction to Quantum Mechanics" (2nd ed.). Essex England: Pearson Education. ISBN 978-013111892-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (2005). "Modern Physics". (3rd ed.). Thomson Learning Inc. ISBN 9780534493394.

Ikus, gainera

• Uhin
• Mekanika kuantiko
• Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa
• Uhin-partikula dualtasuna

Kanpo estekak

• https://www.physlink.com/Education/AskExperts/ae329.cfm
• http://physics.gmu.edu/~pnikolic/PHYS308/lectures/schrodinger.pdf
• http://physics.mq.edu.au/~jcresser/Phys201/LectureNotes/SchrodingerEqn.pdf

• Datuak: Q2362761
• Multimedia: Quantum mechanics