Ekuazio linealetako sistema

Matematikan, ekuazio linealetako sistema bat ekuazio linealen multzo bat da, aldagai berdinen gainean, helburua sistemako ekuazio lineal guztiak betetzen dituzten ezezagun edo aldagaien balioa aurkitzea izanik. Ekuazio linealetako sistemen ebazpena aljebran garrantzi handiko gaia da eta bere inguruan matematikaren alor zabal garatzen da. Adibide gisa, ekuazio linealetako sistema honetan:

${\begin{matrix}3x&+2y&=&16\\x&-y&=&2\end{matrix}}$

soluzioa hau da: $x=4\ \ ,\ y=2.\,$

x=4 eta y=2 balioak sistemako ekuazioetan ordeztuz, berdintzak bete egiten direla egiaztatzen baita:

${\begin{matrix}3\times 4&+2\times 2&=&16\\4&-2&=&2\end{matrix}}$

Nabarmendu behar da ekuazio linealetako sistema batean ez dagoela beti soluzio bat eta batzuetan soluzio bat baino gehiago ere izaten dela.

Ebazpen-metodo sinpleak

Bi ezezagun dituzten ekuazio linealetako sistemetarako, metodo aljebraiko errazak erabil daitezke sistema ebazteko: ordezpen-, berdinketa- edo laburketa-metodoak.

Ordezpen-metodoa

Ezezagun bat edozein ekuaziotik askatu, bigarren ezezagunaren mendean utzi eta beste ekuazioan ordeztu. Horrela, bigarren ezezaguna bakarrik gertazen da ekuazio horretan. Bigarren ezezaguna askatu eta gero, lehenengo ezezaguna askatu egiten da ordezpena egiteko erabili den berdintza erabiliz. Adibidez,

${\begin{matrix}3x&+2y&=&16\\x&-y&=&2\end{matrix}}$

• x = 2+y (bigarren ekuazioa)
• 3(2+y)+2y = 16 (lehenengo ekuazioan ordeztuz)
• 6+3y+2y = 16 (eragiketak burutu)
• 5y = 10 (sinplifikatu)
• y = 2 (y askatu)
• x = 2+y = 2+2 = 4 (bigarren ekuaziora itzuli eta x askatu)

Berdinketa-metodoa

Bi ekuazioetan ezezagun bera askatu, beste ezezagunaren mendean utziz, eta bi adierazpenak berdindu. Beste ezezaguna balioa aurkitu eta ondoren, hasierako ekuazioak erabiliz, lehenengoa askatu:

• x = (16-2y)/3 (lehenengo ekuazioan x askatu)
• x = 2+y (bigarren ekuazioan x askatu)
• 2+y = (16-2y)/3 (x ezezagunaren adierazpenak berdindu)
• 6+3y = 16-2y (sinplifikatu)
• 5y = 10 (sinplifikatu)
• y = 2 (y askatu)
• x = y+2 = 2+2 = 4 (x askatu)

Laburketa-metodoa

Ekuazio bateko bi aldeak zenbaki batez biderkatzen da, ezezagun batek beste ekuazioko koefiziente bera izan dezan. Ekuazioen kenketa egin, geratzen den ekuazioan ezezagun bakarra askatu eta bi ekuazioetako batean ordeztuz, beste ezezaguna ere askatu:

• 3x+2y=16 (lehenengo ekuazioa)
• 3x-3y=6 (bigarren ekuazioa bider 3)
• 3x-3x+2y-(-3y)=16-6 (lehenengo ekuazioa ken bigarrena)
• 5y = 10 (sinplifikatu)
• y = 2 (y askatu)
• x = y+2 = 2+2 = 4 (x askatu)

Ikus, gainera

• Nahasketa-ebazkizun