Beheren eta goren

A zenbaki errealen multzoa (zirkulu berdez eta gorriz adierazita), S A-ren azpimultzo bat (zirkulu berdeak), eta S-ren beherena (infimum ingelesez), erronbo formako puntu batez adierazia.

Matematikan, (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena, existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.

Gorena, existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.

Propietateak

• Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
• $\sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}$, aipaturiko gorenak existitzen badira
• $\inf(S)=-\sup(-S)$ , non $-S=\{-s|s\in S\}$ den
• $\inf(S)=-\sup(-S)$ , non $-S=\{-s|s\in S\}$ den
• Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
• Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
• Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.

Adibideak

Beherena

$\inf \,\{1,2,3\}=1.$

$\inf \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.$

$\inf \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}.$

$\inf \,\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.$

Gorena

• $\sup\{1,2,3\}=3\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,$
• $\sup\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,$
• $\sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,$

Erreferentziak

• Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
• Supremum (PlanetMath.org)
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Supremum function" MathWorld-en.