Zerrenda:Integralak

Integrazioa kalkulu integralaren oinarrizko bi eragiketako bat da. Deribazioak arau errazak dituen bitartean funtzio konplexu bat aurkitzeko hura osatzen duten funtzio bakunen diferentziazioa egiten, integrazioak ez, horregatik oso baliagarriak dira ezagututako integralen taulak. Orrialde honek jatorrizko ezagunenak zerrendatzen ditu.

Integralen zerrenden historia-bilakaera

Integralen zerrenda baten bilduma (Integraltafeln) eta kalkulu integralaren teknikak Meyer Hirsch Alemaniako matematikariak argitaratu zituen 1810ean. Taula horiek berrargitaratu zituzten Erresuma Batuan 1823an. 1858an, David de Bierens de Haan Herbehereetako matematikariak taula luzeagoak bildu zituen. Edizio berri bat 1862an argitaratu zuten. Taula horiek, zeinetan nagusiki oinarrizko funtzioen integralak dauden, 20. mendearen erdira arte jarraitu zituzten erabiltzen. Gero, taula horien ordez Gradshteynen eta Ryzhiken taula handiagoak erabiltzen hasi ziren. Gradshteynen eta Ryzhiken tauletan Bierensen liburutik hartutako integralak BI letrekin adierazten dituzte.

Integralen zerrenda

K erabiltzen da integrazio-konstante gisa. Konstante hori zehaztu daiteke soilik integralaren balioa ezaguna baldin bada puntu batean. Horrela, funtzio bakoitzak jatorrizkoen kopuru infinitua dauka.

Funtzio arrazionalak

$\int \,dx=x+K$

$\int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+K\qquad {\mbox{ baldin }}n\neq -1{\mbox{ bada }}$

$\int {dx \over x}=\ln {\left|x\right|}+K$

$\int {dx \over {a^{2}+b^{2}x^{2}}}={1 \over ab}\arctan {bx \over a}+K$

Funtzio irrazionalak

$\int {dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\sin ^{-1}{x \over a}+K$

$\int {-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\cos ^{-1}{x \over a}+K$

$\int {dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\sec ^{-1}{|x| \over a}+K$

Funtzio logaritmikoak

$\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+K$

$\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+K$

Funtzio esponentzialak

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+K$

$\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+K$

Funtzio trigonometrikoak

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+K$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+K$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+K=\ln {\left|\sec {x}\right|}+K$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+K$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+K$

$\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+K$

$\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+K$

$\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+K$

$\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+K$

$\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+K$

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+K={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+K$

$\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+K={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+K$

$\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+K$

(ikusi sekantearen kuboaren integrala)

$\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$

$\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak

$\int \arcsin {x}\,dx=x\,\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+K$

$\int \arccos {x}\,dx=x\,\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+K$

$\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+K$

$\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\,\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+K$

$\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\,\operatorname {arcsec} {x}-\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+K$

$\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\,\operatorname {arccsc} {x}+\operatorname {artanh} \,{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}+K$

Funtzio hiperbolikoak

$\int \sinh x\,dx=\cosh x+K$

$\int \cosh x\,dx=\sinh x+K$

$\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+K$

$\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+K$

$\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arcsin \,(\tanh x)+K$

$\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+K$

Alderantzizko funtzio hiperbolikoak

$\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+K$

$\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x+1}}\,{\sqrt {x-1}}+K$

$\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}+K$

$\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}+K$

$\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x-2\,\arctan {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}+K$

$\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\operatorname {artanh} {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}+K$

Xehetasun gehiagorako ondorengo orrietara jo:

• Funtzio arrazionalen integralen zerrenda
• Funtzio irrazionalen integralen zerrenda
• Funtzio logaritmikoen integralen zerrenda
• Funtzio esponentzialen integralen zerrenda
• Funtzio trigonometrikoen integralen zerrenda
• Alderantzizko funtzio trigonometrikoen integralen zerrenda
• Funtzio hiperbolikoen integralen zerrenda
• Alderantzizko funtzio hiperbolikoen integralen zerrenda

Jatorrizko itxia ez duten integral mugatuak

Badaude zenbait funtzio zeinen jatorrizkoak ezin diren adierazi forma itxian, hau da, ezin dira adierazi funtzio arrazional, irrazional, esponentzial, logaritmiko, trigonometriko edo alderantzizko funtzio trigonometrikoen konposizio, batuketa edo biderketa gisa. Ostera, zenbait tarte komunetan, funtzio horien integral mugatuen balioak era sinbolikoan kalkula daitezke eta balio zehatza ere lortu. Kasu horietan, baliabidetariko batzuk hauek ditugu:

$\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (ikusi Gamma funtzioa ere)

$\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$ (Gaussen integrala)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (ikusi Bernoulliren zenbakia ere)

$\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}$ (baldin n bikoiti osoa eta $\scriptstyle {n\geq 2}$ bada)

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \dots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \dots \cdot n}}$ (baldin $\scriptstyle {n}$ bakoiti osoa eta $\scriptstyle {n\geq 3}$ bada)

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)$ (non $\Gamma (z)$ Gamma funtzioa den)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]$ (non $\exp[u]$ $e^{u}$ funtzio esponentziala den, eta $a>0$)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)$ (non $I_{0}(x)$ lehen klaseko Besselen funtzio aldatua den)

$\int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)$

$\int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2))}}\,$, $\nu >0\,$, integral hau Studenten t banaketaren probabilitatearen dentsitate-funtzioari lotuta dago)

Exhauzio-metodoak formula bat ematen du kasu orokorrerako jatorrizkorik ez dagoenean:

$\int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n})$

$\int _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}$, non $a>0,\ b>0,\ a\neq b$ diren, batez besteko logaritmikoa dena

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}$

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$ (Gaussen integrala)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)$

$\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)$

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)$

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{zenbaki osoa}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{zenbaki osoa}},a>0)\end{cases}}$ (!! Faktorial bikoitza da)

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}$

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$

$\int _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)$

"Sophomoreren ametsa"

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.291285997\dots )\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }-(-1)^{n}n^{-n}&&(=0.783430510712\dots )\end{aligned}}$

Johann Bernoulli da ustezko egilea.

Biblografia

• M. Abramowitz eta I.A. Stegun, argitaratzaileak. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.

• I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, argitaratzaileak. Table of Integrals, Series, and Products, zazpigarren edizioa. Academic Press, 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Akatsa. (Aurreko edizio asko ondo daude.)

• A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). Integrals and Series. Lehenengo edizioa (errusieraz), 1–5 liburukiak, Nauka, 1981−1986. Lehenengo edizioa (ingelesez, N.M. Queen-ek errusieratik itzulita), 1–5 liburukiak, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992, ISBN 2-88124-097-6. Bigarren edizio berrikusia (errusieraz), 1–3 liburukiak, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.

• Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Errusierazko edizioa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Ingelesezko edizioa, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X.

• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31. edizioa. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3. (Aurreko edizio asko ondo daude.)

Historikoak

• Meyer Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
• Meyer Hirsch, Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [Integraltafeln-en ingelesezko itzulpena]
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - edizio berrikusia (Ginn & co., Boston, 1899)

Kanpo loturak

Integralen taulak

• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas (kontuz: Elkarriketa mezu (popunder) asko atera ahal ditu
• Paul's Online Math Notes
• A. Dieckmann, Table of Integrals (Elliptic Functions, Square Roots, Inverse Tangents and More Exotic Functions): Integral mugagabeak Integral mugatuak
• O'Brien, Francis J. Jr. 500 Integral
• Arauetan oinarritutako matematika
• V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik

Baliabideak Online

• Wolfram Alpha-ren integrazio adibideak
• mathquick Kalkulagailua

Open source programak

• wxmaxima gui for Symbolic and numeric resolution of many mathematical problems