Carnoten zikloa

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Carnoten makina baten eskema. T1 iturri berotik Q1 beroa hartzen du eta T2 iturri hotzera Q2 ematen du, W lana emanez

Carnoten zikloa bi bero iturriren arteko ziklo termodinamiko itzulgarria da, non errendimendua maximoa den. Ziklo hau Sadi Carnotek aztertu zuen Reflections sur la puissance motrice de feu et sur les machines propres à developper cette puissance lanean, 1824ean argitaratua.

Ziklo hau egiten duen makina termikoa Carnoten makina deitzen da. Iturri berotik Q1 beroa hartzen du eta iturri hotzera Q2 ematen du, inguruan W lana eraginez. Errendimendua, edozein ziklotan bezala,

\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1-Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}

bezala definitua dago, eta iturri berdinen artean lanean dabilen beste edozein makina termikoren errendimendua baino altuagoa da.

Ziklo ideal hau itzulgarria denez, prozesu denak alderantzikatu daitezke, eta orduan makinak iturri hotzetik beroa hartzen du eta berora lagatzen du, lana eragin behar zaiolarik. Alderantzizko makina honi hotz-makina deitzen zaio.

Carnoten zikloa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Carnoten zikloaren diagrama presio eta bolumenaren arabera
Carnoten zikloaren diagrama tenperatura eta entropiaren arabera

Carnoten zikloa lau prozesuz osatua dago: bi isotermo (tenperatura konstantean) eta bi adiabatiko (termikoki isolatuak)

  1. Espantsio isotermoa: (1 → 2 diagraman) Gasa bolumen minimoan dago eta iturri beroko T1 tenperaturan. Iturri berotik sistemari beroa ematen zaio, espandituz. Espanditzean, gasaren joera hoztea da, baina bero transferentziari esker tenperatura konstante mantentzen da. Gas ideala denez, tenperatura konstante mantentzen denez, barne energia ere konstante mantentzen da, eta termodinamikaren lehenengo legearen arabera, trukatutako bero guztia lan bihurtzen da:
    Q_{12} > 0\ ;\ U_{12} = 0\ \Longrightarrow\ 0 = U_{12} = Q_{12} + W_{12}\ \Longrightarrow\ W_{12} = -Q_{12}\ \Longrightarrow\ W_{12} < 0
    Prozesuan entropia hazi egiten da: entropiaren aldaketa prozesu itzulgarri baten trukatutako beroaren eta iturriaren tenperaturaren arteko zatidura bezala definitzen da, eta prozesua itzulgarria denez, entropia handitu egingo da, trukatutako beroa positiboa baita:
    S_{12} = \frac{Q_{12}}{T_1} > 0
  2. Espantsio adiabatikoa: (2 → 3) Espantsio isotermoa amaitzean, sistema termikoki isolatzen da eta T2 tenperatura lortu arte espanditzen da. Tenperatura jeitsi denez, barne energia ere gutxitu egin da, eta sistema termikoki isolatua dagoenez bero transferentziarik ez da egongo. Jeitsitako barne energia lan bilakatu da:
    Q_{23} = 0\ ;\ U_{23} < 0\ \Longrightarrow\  U_{23} = W_{23} < 0
    Bero trukaketarik ez dagoenez, entropia ez da aldatzen:
    S_{23} = 0\,
  3. Konpresio isotermoa (3 → 4) Isolamendua kenduz, sistema iturri hotzarekin kontaktuan jartzen da. Konpresioa eraginez, tenperaturak hazteko joera dauka, baina iturri hotzari beroa ematen zaio, sistemaren tenperatura konstante mantenduz. Tenperatura aldatzen ez denez, barne energia ere ez da aldatuko, eta beroa lagatzearen ondorioz sistemari lana eman behar zaio:
     Q_{34} < 0\ ;\ U_{34} = 0\ \Longrightarrow\ 0 = U_{34} = Q_{34} + W_{34}\ \Longrightarrow\ W_{34} = -Q_{34}\ \Longrightarrow\ W_{34} > 0
    Trukatutako beroa negatiboa denez, entropia gutxitu egiten da:
    S_{34} = \frac{Q_{34}}{T_2} < 0
  4. Konpresio adiabatikoa (4 → 1) Termikoki isolatua, sistema konprimitu egiten da hasierako egoerararte. Tenperatura hazi egiten da, beraz barne energia, eta ez da berorik trukatzen, sistemari lana eman behar zaiolarik:
    Q_{41} = 0\ ;\ U_{41} > 0\ \Longrightarrow\ U_{41} = W_{41} > 0
    Prozesu adiabatikoa izaki, bero transferentiarik ez dago eta entropia konstante mantentzen da:
    S_{41} = 0\,

Zikloaren lana[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Termodinamikare lehenengo legearen arabera, energia mekanikoaren aldaketak barne energiaren aldaketaren aldean arbuiagarriak direla suposatuz,

dE = dU = \delta Q + \delta W \quad \Longrightarrow \quad \delta W = dU - \delta Q \quad \Longrightarrow \quad W = \oint dU - \delta Q

U barne energia propietate termodinamiko bat denez, diferentzial zehatz ba da eta bere balioa hasieran eta amaieran bera da, beraz dU-ren integrala ziklo osoan 0 izango da. Ondorioz:

W = - \oint \delta Q = - \int_1^2 T_1 dS - \int_3^4 T_2 dS = - T_1 (S_B - S_A) - T_2 (S_A - S_B) = (T_2 - T_1)(S_B - S_A) < 0

Lana negatiboa da, sistemak inguruan lana eragin duela esan nahi duelarik.

Carnoten teoremak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1. Bi bero iturriren artean lanean dabilen makina termiko baten errendimendua Carnoten makina batena baino txikiagoa izango da.

Teorema betetzen ez dela suposatuz, termodinamikaren bigarren legea betetzen ez dela ikusten da. Demagun bi makina dauzkagula, X makina eta R Carnoten makina, iturri bereen artean lanean eta iturri berotik bero kantitate berdina hartuz. \eta_X > \eta_R suposatuz, definizioz \eta_X = \frac{W_X}{Q_1}\ ;\ \eta_R = \frac{W_R}{Q_1} eta, ondorioz, W_X > W_R\ ,\ Q_{2X} < Q_{2R}, non W eta Q2 emandako lana eta iturri hotzari emandako beroa diren hurrenez hurren, eta azpindizeak zein makinakoak diren.
R itzulgarria denez, hotz-makina bezala funtziona dezake. W_X > W_R denez, X makinak R makinari hotz-makina bezala funtzionatzeko behar duen W_{R} lana eman diezaioke, eta X makinak W_X - W_R lana eragiten du. Alderantziz ibiltzean, R makinak iturri hotzetik Q_{2R} beroa hartzen du eta iturri beroari Q_1 ematen dio.
Bi makinek osatutako sistemak W_X - W_R lana ematen du eta Q_{2X} - Q_{2R} beroa trukatzen du iturri bakar batekin, termodinamikaren bigarren legearen Kelvinen enuntziatuaren aurka doana. Beraz:
\eta_X\ \le\ \eta_R

2. Bi iturri beroren artean dabiltzan bi makina itzulgarriren errendimendua bera da.

Teorema betetzen ez dela suposatuz, termodinamikaren bigarren legea betetzen ez dela ikusten da. Demagun bi makina itzulgarri dauzkagula, R1 eta R2, iturri bereen artean lanean eta iturri berotik bero kantitate berdina xurgatuz, bien errendimenduak ezberdinak direlarik. R1 errendimendu gutxienekoa bada, orduan W_{R_1} < W_{R_2}.
R1 alderatzikatuz, R2 makinak W_{R_1} lana eman diezaioke hotz-makina bezala funtziona dezan eta R2k W_{R_2} - W_{R_1} lana eragingo du.
Bi makinek osatutako sistemak W_{R_2} - W_{R_1} lana ematen du eta Q_{2R_{2}} - Q_{2R_{1}} beroa trukatzen du iturri bakar batekin, termodinamikaren bigarren legearen Kelvinen enuntziatuaren aurka doana. Beraz:
\eta_{R_1}\ =\ \eta_{R_2}\,

Errendimendua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi makina itzulgarriren errendimendua bera denez, hau ez da lan-sustantzia edo propietateen menpe egongo, bero iturrien ezaugarrien menpe bakarrik egongo da. Bero iturriak beraien tenperaturagatik bereizten direnez, errendimendua tenperaturaren funtzioa izango da. Makinak T1 eta T2 tenperatura duten iturrien artean lan egiten badu, errendimendua tenperaturaren menpe dago:

\eta = 1 - \frac{Q_2}{Q_1} = \phi (T_1,T_2) \quad \Longrightarrow \quad \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{1}{1 - \phi (T_1,T_2)} = f(T_1,T_2)

Beraz, trukatutako beroen zatidura tenperaturen funtzioa da. Termodinamikaren bigarren legearen arabera errendimendua ezin da unitatea izan eta f funtzioa beti definitua dago.

Orain, jo hiru makina ditugula beste hainbeste iturriren artean lanean, non T_1 > T_3 > T_2 . Lehenengo makina 1 eta 2 iturrien artean dabil, bigarrena 1 eta 3 artean eta hirugarrena 3 eta 2 artean, iturri bakoitzak berarengan aritzen diren makinen artean bero berdina trukatzen duelarik. Hots, lehenengoak eta bigarrenak Q1 xurgatzen dute; bigarrenak eta hirugarrenak Q2 eman eta xurgatzen dute, hurrenez hurren; eta lehenengoak eta hirugarrenak Q3 lagatzen dute. Aurreko ekuaziotik, makina bakoitzari ezarria:

 \frac{Q_1}{Q_2} = f(T_1,T_2)\ ;\ \frac{Q_1}{Q_3} = f(T_1,T_3)\ ;\ \frac{Q_3}{Q_2} = f(T_3,T_2)

Erlazio matematikoak erabiliz:

 \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{Q_1}{Q_3} \frac{Q_3}{Q_2} \quad \Longrightarrow \quad f(T_1,T_2) = f(T_1,T_3) f(T_3,T_2)

Lehenengo atala T1 eta T2ren menpe soilik dagoenez, bigarren atalak ere horrela izan behar du, berdin dio zein den T3. Hori horrela izan dadin f funtzioa hurrengo itxurakoa izan behar da:

f(T_i,T_j) = \frac{\Phi(T_i)}{\Phi(T_j)} \quad \Longrightarrow \quad \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{\Phi(T_1)}{\Phi(T_2)}

Erlazio hori betetzen duten funtzioen artean errezena Kelvinek proposatutakoa da, \Phi(T) = T. Eskala honi tenperatura eskala absolutua edo Kelvin tenperatura eskala deritzo. Aurreko ekuazioan ordezkatuz:

 \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{T_1}{T_2}

eta zatidura hau errendimenduaren definiziora eramanez:

\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}

Emaitza honetara heltzeko beste modu bat entropiatik da, dS = \frac{\delta Q}{T}\bigg|_{itzg} bezala definitua. Hortik 1 → 2 eta 3 → 4 prozesuetan trukatutako beroa atera daiteke:

 \delta Q = T dS \quad \Longrightarrow \quad Q = \int T dS

 Q_1 = \int_1^2 T_1 dS = T_1 (S_B - S_A)

 Q_2 = \int_3^4 T_2 dS = T_2 (S_A - S_B) = - T_2 (S_B - S_A)

Iturri beroarekin trukatutako beroa positiboa da, eta hotzarekin trukatutakoa negatiboa. Errendimenduaren definizioan lanen eta beroen balio absolutuak erabiltzen direla kontuan hartuz,

 \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{T_2 (S_B - S_A)}{T_1 (S_B - S_A)} = \frac{T_2}{T_1}

eta emaitza berdinera heltzen da:

\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Carnoten zikloa Aldatu lotura Wikidatan