Fermaten teorema txikia

Wikipedia, Entziklopedia askea

Fermaten teorema txikia zatigarritasunari lotutako zenbakien teoriako teorema klasikoetako bat da. Honako hau da bere definizioa:

p zenbaki lehena bada, orduan, a zenbaki natural bakoitzerako non a>0 , apa (mod p)


Baliokidea den arren, orokorrean teorema beste modu honetan aurkezten da:

p zenbaki lehena bada, orduan, a zenbaki natural bakoitzerako, non a>0 , p-rekin elkarrekiko lehen, ap-1 ≡ 1 (mod p)



Horrek esan nahi du a zenbaki bat p-garren potentziara igotzen bada eta emaitza a-ri kentzen bazaio, hondarra p-rekin zatigarria dela (ikus aritmetika modularra). Bere interes nagusia lehentasunaren arazoari eta kriptografiari aplikatzea da. Teorema honek ez du zerikusirik Fermaten Azken Kondairazko Teoremarekin, 350 urtez aieru bat besterik ez zena eta azkenean Andrew Wilesek frogatu zuena 1995ean.

Orokorpenak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hortik datorren teoremaren orokortze txiki batek honako hau dio: p lehena bada eta m eta n zenbaki oso positiboak badira m ≡ n (mod p-1), orduan am ≡ an (mod p) a zenbaki oso guztietarako. . Honela adierazita, teorema RSA gako publikoaren enkriptatzeko metodoa justifikatzeko erabiltzen da.

Fermaten teorema txikia Eulerren teorema erabiliz orokor daiteke; n edozein modulurako eta n-ko lehen osoko edozeinentzat, honako hau dugu:

, non φ (n) n-rekin 1 eta n arteko zenbaki osoen kopurua zenbatzen duen Euler φ funtzioa den.

Hau orokortze bat da, izan ere, n = p zenbaki lehena bada, orduan φ (p) = p - 1. Hala ere, oraindik posible da gehiago orokortzea, Carmichaelen teoreman erakusten den bezala. Lehen bezala, n edozein modulurako eta n duen edozein zenbaki koprimerako, honako hau dugu: {\ displaystyle a ^ {\ lambda (n)} \ equiv 1 {\ pmod {n}}} non orain λ (n) Carmichael funtzioa den.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]