Koefiziente binomial

Pascalen hirukia koefiziente binomialak erraz kalkulatzeko erabiltzen da

Konbinatorian, koefiziente binomialak binomio bateko berreketa garatzen duten koefizienteak dira, Pascalen hirukia erabiliz. Honela definitzen dira:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}$

Adibidez:

$(x+y)^{3}={3 \choose 0}x^{3}y^{0}+{3 \choose 1}x^{2}y^{1}+{3 \choose 2}x^{1}y^{2}+{3 \choose 3}x^{3}y^{0}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$$(x+y)^{3}={3 \choose 0}x^{3}y^{0}+{3 \choose 1}x^{2}y^{1}+{3 \choose 2}x^{1}y^{2}+{3 \choose 3}x^{3}y^{0}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$

Kalkulua

n zenbaki oso ez negatiboa eta k zenbaki oso bat izanik, koefiziente binomiala honela definitutako zenbaki arrunta da:

${n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{ ; }}\ n\geq k\geq 0\qquad (1)$${n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{ ; }}\ n\geq k\geq 0\qquad (1)$

eta

${n \choose k}=0\quad {\mbox{ ; }}k<0{\mbox{ edo }}k>n$${n \choose k}=0\quad {\mbox{ ; }}k<0{\mbox{ edo }}k>n$

non n! n-ren faktoriala den.

Adibidea

${7 \choose 3}={\frac {7!}{3!(7-3)!}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}=35.$${7 \choose 3}={\frac {7!}{3!(7-3)!}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)}}={\frac {7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}=35.$

Koefiziente binomialak (x + y)ⁿ binomioaren garapeneko koefizienteak dira (hortik datorkio bere izena):

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.\qquad (2)$$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.\qquad (2)$

Ikus, gainera

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Koefiziente binomial

• Konbinazio (konbinatoria)