Lankide:Naiacasina/Proba orria

Mugimendu browndarra deskribatzen duten 100 partikulen traiektoriak, x-y planoan. $r_{x}(t)$ eta $r_{y}(t)$, partikulen posizio tenporalak zehazten dituzten aldagaiak dira.

Mugimendu browndarrak edo pedesis-ak (greziera zaharrareko: πήδησις-a / pɛ̌ːdɛːsis-a / "saltatu" hitzetik eratorria) jariakin batean (likido edo gasa) aske dabiltzan partikulen higidura aleatorioa deskribatzen du. Higidura aleatorio hau, jariakinean murgilduta dauden molekulen arteko talkek eragindakoa da .

Patroi honek oreka termikoan dagoen jariakina deskribatzen du, tenperatura jakin baterako. Jariakin honen barruan ez dago lehentasunik daukan fluxu-norabiderik. Bestela esanda, jariakinaren momentu angeluar eta lineal osoak nuloak dira denboran zehar. Jariakinaren barne-energiari dagokionez, hau, mugimendu browndar molekularren energia zinetikoak eta bibrazio- eta errotazio-molekularrei dagozkien energiek osatzen dute.

Mugimenduaren izena Robert Brown botanikaritik hartu zen. Brown izan zen fenomenoa zehazki lehen aldiz 1827an deskribatu zuena, uretan murgildutako Clarkia pulchella landarearen polena mikroskopio batekin aztertu eta gero. 1905ean, ia laurogei urte geroago, Albert Einstein fisikari teorikoak ur-molekula indibidualek mugiarazitako polenaren mugimendu hau modelatu zuen, fenomenoari azalpen teoriko baliagarri bat emanez. Esan daiteke artikulu honen argitalpena bere lehen ekarpen zientifiko garrantzitsuenetarikoa izan zela.

Einsteinen ekarpenak, atomoak eta molekulak daudelaren froga sinesgarri gisa balio izan zuen eta Jean Perrin-ek egiaztatu zuen esperimentalki 1908an. Perrin-ek 1926ko Fisikako Nobel Saria jaso zuen "materiaren estruktura ez-jarraituan egin zituen lanengatik" . Einsteinek teorikoki garatu eta Perrinek frogatu zuen bezala, bonbardaketa atomikoaren indarraren norabidea aldiunero aldatzen da, eta une batzuetan, partikula gehiago jotzen da alde batean, bestean baino, kutsu aleatorioko izaera emango dion higidura sortuz.

Patroi browndarra produzitzen duten gorputz anitzeko interakzioak ezin dira ebatzi molekula bakoitzaren konportamoldea deskribatzen duen modelo baten bitartez. Beraz, hauek deskribatzeko, populazio molekularrei aplikatutako modelo probabilistikoak baino ezin dira erabili. Modelo hauetariko batzuk deskribatzen dira aurrerago; horien artean, prozesu estokastikotatik abiatutako modeloa, edota estatistika mekanikoko bi modelo, Einstein eta Smolouchowskiri esker garatu zirenak. Hortaz gain, badira prozesu estokastiko bai errazago eta bai konplikatuagoak, hein batean mugimendu browndarra deskriba ditzaketenak (ausazko pausua eta Donskerren teorema, horien artean).

Historia

1827an, Robert Brown botanikariak Clarkia pulchella izeneko landare bateko polen aleak aztertzen zebilen. Ale hauek, lehertu aurretik, 5-6 mikrometroko partikula handiak dituzte. Uretan murgildutako partikulak ikusteko, mikroskopio sinplea erabili zuen. Bere jatorrizko galdera ernaltze-prozesuari buruzkoa bazen ere, bere arreta laster joan zen beste fenomeno baten azterpenera.

Partikulen mugimendu alderrai iraunkor bat antzeman zuen uretan. Esperimentua errepikatzerakoan, ziur zegoen mugimendu honen jatorria ez zirela ez uretan zeuden korronte arinak ezta lurrunketa-prozesua ere. Bere aurkikuntza 1928an deskribatu zuen: "1827ko ekainean, uztailean eta abuztuan egindako behaketa mikroskopikoen deskribapen laburra, landareetako polena sortzen duten partikulen gainean; eta gorputz organiko eta ez-organikoetako molekula aktiboen existentzia orokorraren gainean" izeneko artikulu batean. Robert Brown-en omenez, fenomeno hau mugimendu browndar bezala ezagutzen da gaur egun. Tamalez, ezin izan zuen partikulen portaera arraro hau fisikoki azaldu.

Arazoa ia mende batetan zehar egon zen ebatzi gabe, Albert Einsteinek gogobeteko azalpen teorikoa eman zion arte, 1905ean. Bere lanean, presio osmotikoan oinarrituz, argudiatu zuen likido estatikoan murgildutako partikulen mugimendua, likido-pratikulen mugimenduaren berdina dela. Hots, fluktuazio termikoek eragindakoak. Gero konturatzen da deskribapen teoriko adierazgarriak ikuspegi probabilistikoa baten beharra duela. Erakutsi zuen partikulen probabilitate-dentsitateak difusio-ekuazioa betetzen duela. Horretaz gain, konturatzen da posizioaren bataz besteko desplazamendu karratua denboran linealki aldatzen dela, difusio-prozesu batean ohikoa dena. Laburki esanda, partikulen hedapena nola gertatzen den zehaztu zuen.

Mugimendu browndarra deskribatzen duten oinarrizko modeloak

Prozesu estokastikoak

Sistema determinista bat deskribatu lezakeen funtzioa.$f(t)$-k, $t$ aldiune bakoitzean $f$-k hartzen duen balioa ematen du. Balio hauek zehatzak dira $t$ aldagaia edozein izanik $t\in [-4,4]$ tartean.

Mugimendu browndarrak, jariakin bateko partikulen difusio-higidura deskribatzen duenak, izaera guztiz estokastikoa dauka. Hori dela eta, askotan, prozesu estokastikoen bitartez modelatu ohi dira: ez da posiblea izango aurreikuspen zehatzak egitea partikularen posizio edota abiadurari dagokionez. Honetarako, prozesu estokastikoak ezaugarritzea eta analizatzea ahalbidetuko diguten metodo matematiko ezberdinak beharko dira.

Prozesu estokastikoa zer den ulertzeko, prozesu estokastikoa ez den adibide bat eman daiteke lehenbizi. Demagun denbora aldagaitzat duen funtzio bat daukagula. Funtzio honen balioa, aldiunero, ezaguna da, eta irudian agertzen den eitea du. Prozesu honi, prozesu determinista deritzo. Matematikan, informatikan eta fisikan, sistema determinista batek ausazkotasunik gabe garatzen den sistema bat deskribatzen du: honen etorkizuneko egoerak berdinak izango dira hasierako baldintza beretatik abiatuz gero.

$X(t)$ funtzioa estokastikoa izanik, hasierako baldintza berdinekin eta $t$ aldiune bererako, $x$ balio ezberdinak erdietsi daitezke. $t$ bakoitzerako funtzioaren balioa, balio probabilistikoetan oinarrituta egongo da.

Har bedi orain prozesu estokastiko bat deskribatzen duen $X(t)$ funtzioa. Kasu honetan, ezin da $X$, $t$-ren funtzio bezala zehaztu. Bestela esanda, $t$ aldiune jakin bateko $X$-ren balio bakarra ezin da zehaztu, eta hortaz, eman daitekeen informazio bakarra da, $t$ aldiunean, ausazko aldagaiak $x$ balioa hartzeko probabilitatea zein izango den, kontuan izanik $t_{0}$ aldiunean $x_{0}$balioa zuela. Prozesu estokastiko bera zenbaitetan burutuz gero, irudian agertzen diren ibilbide ezberdinetako kurbak ager daitezke. Azterpena sinplifikatzeko, $x_{0}$-tik $t_{0}$ aldiunean igarotzen diren ibilbideak baino ez dira irudikatu. Beranduago heltzen den $t$ aldiunea kontsideratzen bada, $X$-k t aldiunean definitutako probilitateari jarraiki, edozein balio har dezake, printzipioz.

Langevin-en ekuazioa

Partikula browndarraren higidura deskribatzea da helburua. Jariakinean dauden eta partikulen higiduraren perturbazioan parte hartzen duten eragile guztien interakzio-potentzialak kontsidera litezke, eta partikula guztiei dagozkien higidura-ekuazioak numerikoki ebatzi. Aitzitik, prozedura hau oso astuna da: ingurunearen deskribapena baldintzatzen duten hainbat askatasun gradu daude. Hauek ekiditeko, badago bilatu nahi diren emaitzak lortzea ahalbidetzen duen ekuazio eraginkor bat.

Partikula browndar baten denboran zeharreko posizioaren aldakuntza hobekien deskribatzen duen ekuazioa, Langevin-en ekuazioa da. Partikularen gainean eragiten duen indar-eremu aleatorioa (jariakinaren fluktuazio termikoek eragina) barnebiltzen du. Langevin-en ekuazioak ez du sistemaren deskribapen mikroskopiko bat ematen, ezta makroskopikoa ere. Ekuazioa onargarritzat hartzeko, azterpen-eskala mesoskopikoa izan behar da.

Har bedi jariakin batean dagoen $a$ erradioko eta $m$ masako partikula esferikoa. Oro har, browndar partikula baten erradioa $10^{-9}m<a<5\cdot 10^{-7}m$ artean izan ohi da. Partikularen $t$ aldiuneko posizioa eta abiadura, $\mathbf {r} (t)$ eta $\mathbf {v} (t)$ dira, hurrenez hurren. Partikula browndarrak partikula klasikoaren izaera duela kontsideratuz, honen dinamikak Newtonen bigarren legea beteko du. Bestela esanda, jakina da partikularen gainean eragiten duten indar guztien batura, partikularen azelerazioaren eta masaren produktuaren berdina izan behar dela:

$${\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {v} (t)$$

$$m{\dot {\mathbf {v} }}(t)=\mathbf {F_{tot}} (t)$$

Orain $\mathbf {F_{tot}} (t)$ indarra modelatuko duen eta fisikoki adierazgarria den espresio bat lortu behar da. Partikularen gainean eragiten dabiltzan indarrak inguruneko partikulen talken ondorio dira. Talka hauek $\mathbf {F_{tot}} (t)$-ren bitartez deskribatu ahal izateko, eta kontuan izanik inguruneko partikulen askatasun graduen independentea dela, zenbait sinplifikazio hartu beharko dira kontuan.

Azterpena sinplifikatzeko kontsideratuko da talken arteko denbora-eskala mikroskopikoa, $\tau _{mikro}$, oso txikia dela denbora-eskala mesoskopikoarekin, $\tau _{meso}$-rekin alderatuta : $\tau _{mikro}$ denbora-eskala infinitesimala izango da. $\tau _{meso}$ eskalan, talken ondorioz partikularen gainean eragiten diren indarrak, dentsoak eta infinituki zorrotzak diren spiken bitartez simulatu daitezke. Hortaz gain, onartuko da $\tau _{meso}$ eskalan, $t$ aldiunean gertatzen den talka batek ez duela $t+\tau _{meso}$ aldiuneko talka bat baldintzatuko. Independenteak izango dira: inguruneak ez du memoriarik. Sistemaren simetria kontuan izanik, partikularen kontra gertatzen diren norabide orotako talkek indar bera eragingo diote. Propietate hauek guztiak estatistikoki barnebiltzen dituen kandidatua zarata Gaussiarra da, ${\vec {\xi }}(t)$, eta propietate hauek ditu:

$$\langle \xi _{\alpha }(t)\rangle =0,\quad \langle \xi _{\alpha }(t_{1})\xi _{\alpha }(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})$$

Non $b$ zarataren intentsitatea den eta $\alpha$-k edozein norabide adierazten duen. $\mathbf {\xi } (t)$-k ausazko indarra simulatzen du. Hiru dimentsiotan eta koordinatu kartesiarretan, ausazko indarrak $\xi _{x}$, $\xi _{y}$ eta $\xi _{z}$ osagaiak izango ditu eta inolako orokortasunik galdu gabe, onar daiteke edozein norabidetako bataz besteko indarra nuloa dela:

$$\langle \xi _{x}(t)\rangle =\langle \xi _{y}(t)\rangle =\langle \xi _{z}(t)\rangle =0$$

$\mathbf {F_{tot}} (t)=\xi (t)$ dela onartuz, bataz besteko energia zinetikoa kalkulatuko da. Ohartu, puntu hontatik aurrera dimentsio bakarreko problema aztertuko dela, baina emaitza guztiak orokortu daitezke hiru dimentsiotara:

$$m\langle v^{2}(t)\rangle =\int _{0}^{t}{\text{d}}t_{1}\int _{0}^{t}{\text{d}}t_{2}\langle \xi (t_{1})\xi (t_{2})\rangle =b\int _{0}^{t}{\text{d}}t_{1}\int _{0}^{t}{\text{d}}t_{2}\delta (t_{2}-t_{1})\sim t$$

Partikularen energia zinetikoa handituz dihoa denborak aurrera egin ahala. Honek, fisikoki, ez du zentzurik. Partikularen abiadura gutxituko duen osagairen bat falta dela ematen du. Ausazko indarraren ondorioz, partikula abiadura batekin eta norabide jakin batean mugituko da. Bere higidurak jarrai dezan, inguruneko partikulei bultza egin beharko die: partikulak inguruneari momentu asimetrikoa transferituko dio. Honen ondorioa argi ikus daiteke: partikula zenbat eta azkarrago mugitu ingurunean, orduan eta dezelerazio handiagoa eragingo dio ingurunean higitzeak. Beraz, $\mathbf {F} _{mar}$ indar gehigarria (marruskadura-indarra) abiadurarekiko proportzionala izan beharko da.

Jariakin batean dagoen esfera makroskopiko batek jasango duen marruskadura-indarra $-\gamma v(t)$ da. $\gamma$ marruskadura-koefizientea, partikularen $a$ erradioarekin eta $\eta$ jariakineko biskositatearekin erlazionatuta dago, Stokes-en legeak dioen bezala:

$$\gamma =6\pi \eta a$$

Onartuz Stokes-en legea eskala mesoskopikoan ere beteko dela, $F_{mar}=-\gamma v(t)$ izango da, eta hortaz, $F_{tot}=-\gamma v(t)+\xi (t)$. Partikula browndarrean eragingo duten indarrak kontuan izanik, Langevin-en ekuazioa idatz daiteke:

$$m{\dot {v}}(t)=-\gamma v(t)+\xi (t)$$

Marruskadura-indarrak, $F_{mar}$, eta ausazko indarrak, ${\vec {\xi }}(t)$, jatorri bera dute: ingurunea. Ondoriozta daiteke, hortaz, beraien artean nolabaiteko erlaziorenbat egon behar dela. Eta badago: existitzen da bi indar hauen arteko erlazio bat, fluktuazio-disipazio (fluktuazio-barreiatze) erlazio bezala ezagutzen dena. Hurrengo lerroetan erlazio hontara heltzeko garapena gauzatuko da. Langevin-en ekuazioaren ebazpen formala $v(t)$-rentzat:

$$v(t)=e^{-{\frac {\gamma t}{m}}}v(0)+\int _{0}^{t}{\text{d}}{\tilde {t}}\,\,e^{-{\frac {\gamma (t-{\tilde {t}})}{m}}}\,\,{\frac {\xi ({\tilde {t}})}{m}}$$

eta hemendik abiaduraren bataz besteko kuadratikoa:

$$\langle v^{2}\rangle =e^{-{\frac {2\gamma t}{m}}}v(0)^{2}+{\frac {b}{\gamma m}}\left(1-e^{-{\frac {2\gamma t}{m}}}\right)$$

Bestalde, sistemak oreka-egoera erdiesten duenean (hots, $t\rightarrow \infty$), ekipartizio teorema bete behar da: $\langle v^{2}\rangle _{oreka}=k_{B}T/m$. Aurreko adierazpenean baldintza hau aplikatuz:

$$\lim _{t\to \infty }\langle v^{2}\rangle ={\frac {b}{\gamma m}}={\frac {k_{B}T}{m}}$$

Eta hemendik fluktuazio-disipazio erlazioa lortzen da:

$$b=\gamma k_{B}T$$

Hau da, tenperaturaren, marruskadura-koefizientearen eta ausazko indarraren intentsitatearen arteko erlazioa. Honen antzera, kalkula daiteke ere $\langle \Delta x^{2}\rangle$-ren adierazpena, kontuan izanik $\Delta x=\int _{0}^{t}v({\tilde {t}}){\text{d}}{\tilde {t}}$ dela:

$$\langle \Delta x^{2}\rangle =2{\frac {k_{B}T}{2}}\left[t-{\frac {m}{\gamma }}+{\frac {m}{\gamma }}e^{-{\frac {\gamma t}{m}}}\right]$$

$t\gg {\frac {m}{\gamma }}$ denborak kontsideratuz gero, orduan adierazpena:

$$\langle \Delta x^{2}\rangle =2Dt$$

gelditzen da, non $D={\frac {k_{B}T}{\gamma }}$ difusio-koefizientea den. Hauxe da, hain zuzen ere, Einstein-Smoluchowski erlazio famatua. Ohartu, arestian eman diren $v(t)$-ren soluzioak direla Langevin-en ekuazioarekin erdietsi daitezkeenak, gehien jota. $v(t)$-ren ibilbidearen adierazpen analitiko bat eskatzeak ez luke zentzurik izango, Langevin-en ekuazioa, ekuazio diferentzial estokastikoa baita. $\xi (t)$ ausazko indarraren ondorioz, $v(t)$ prozesu estokastikoa da. Beste era batera esanda, $v(t)$-ren ibilbidea kalkulatzen den bakoitzean, $v(t)$-ren eite ezberdina lortuko da, nahitaez. Langevin-en ekuazioa ebazteak, beraz, zera esan nahi du: $v(t)$-ren propietate estokastikoak bilatzea. Eta hau, trantsizio probabilitate-banaketa $p(x_{0},v_{0},t|x,v,t)$ kalkulatuz lor daiteke, goiko irudian adierazita datorren bezala.

Hau beteko ez balitz ere, ez-nuloa litzatekeen gaia Langevin-en ekuazioan gehitu daiteke aparteko indar edo indar gehigarri bezala. Interesgarria da, gainera, aztertzea aldiune ezberdinetan eta norabide ezberdinetan zehar, indarrek korrelaziorik dutenentz. Browniar partikulen higidura aztertzen duen denbora-eskala, jariakineko molekulekin gertatzen diren talkei dagokien denbora-eskala baino askoz handiagoa dela kontsideratuz, onar daiteke browndar partikularen denbora-eskalan ondoz ondoko ausazko indarrek ez dutela korrelaziorik. Hau matematikoki adieraz daiteke ausazko indarraren auto-korrelazio funtzioa erabiliz:

$$\phi _{F}\equiv <F_{\alpha }(\tau )F_{\beta }(\tau +t)>=2D\delta _{\alpha \beta }\delta (t)$$

non $\delta _{\alpha \beta }$ Kroeneckerren delta den:

$$\delta _{\alpha \beta }={\begin{cases}1,&{\text{baldin eta }}\alpha =\beta \\0,&{\text{bestela}}\end{cases}}$$

eta $\delta (t)$ Dirac-en funtzioa den:

$$\delta (t)={\begin{cases}\infty ,&{\text{baldin eta }}t=0{\text{ bada}}\\0,&{\text{bestela }}\end{cases}}$$