Lankide:Theklan/Talesen teorema (elkarketa)

Formulazioa

Demagun S bi lerroren elkargunea dela, eta A, B, lehen lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak. Hala, B S-tik A-tik baino urrutiago dago, eta, era berean, C, D bigarren lineak bi paraleloekin dituen elkarguneak dira, D S-tik C-tik urrutiago baitago.

Lehenengo lerroan bi segmenturen arteko erlazioa eta bigarren lerroan adostasun-segmentuen erlazioa berdinak dira: $|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$ , $|SB|:|AB|=|SD|:|CD|$ , $|SA|:|SB|=|SC|:|SD|$
S-n hasten den lerro bereko bi segmentuen erlazioa eta paraleloetako segmentuen erlazioa berdinak dira: $|SA|:|SB|=|SC|:|SD|=|AC|:|BD|$
Lehenengo esaldikoaren kontrakoa ere egia da, hau da, bi lerro arbitrariok elkar ebakitzen badute eta $|SA|:|AB|=|SC|:|CD|$ eusten baditu, bi intertzeptazio paraleloak dira. Hala ere, bigarren baieztapenaren aurkakoa ez da egia.
S-n bi lerro baino gehiago ebakitzen baditu, paraleloan dauden bi segmentuen arteko erlazioa bat dator beste paraleloan dauden hitzarmen-segmentuen erlazioarekin: $|AF|:|BE|=|FC|:|ED|$ , $|AF|:|FC|=|BE|:|ED|$

Talesen lehen teoremak lerroen sekzioen proportzioak erakusten ditu; bigarrenak, lerroen sekzioen proportzioak, eta paraleloen sekzioak; azkenik, hirugarrenak paraleloen sekzioen proportzioak erakusten ditu.

Lotutako kontzeptuak

Antzekotasuna eta antzeko triangeluak

Talesen teoremak lotura estua du antzekotasunarekin. Antzeko triangeluen baliokidea da, hau da, antzeko triangeluen eta antzeko triangeluen propietateak probatzeko erabil daiteke, Talesen teorema probatzeko. Angelu berdinak parekatzean, elkarren antzeko bi triangelu jar daitezke beti, Talesen teorema aplikatzen den konfigurazioa lortzeko; eta, kontrara, Talesen teoremaren konfigurazioak beti antzeko bi triangelu ditu.

Biderketa eskalarra bektore-espazioetan

Bektore-espazio normalizatu batean, biderketa eskalarrari buruzko axiomek (bereziki $\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$ eta $\|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|$ ) bermatzen dute Talesen teorema mantentzen dela. Batek ${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$ du.

Aplikazioak

Konpas eta erregela eraikuntzen formulazio aljebraikoa

Oinarrizko geometrian hiru problema ezagun daude, eta grekoek planteatu zituzten konpas eta eskuairarekin eraiki daitezkeenei dagokionez:^[1]

2000 urte baino gehiago iraun zuten, eta azkenean hirurak ezinezkoak agertu ziren XIX. mendean emandako tresnekin, denbora horretan eskuragarri zeuden metodo aljebraikoak erabiliz. Aljebrako terminoetan birformulatzeko, gorpoutz-eragiketak eta konpasa eta eskuaira konbinatu behar dira. Bereziki, garrantzitsua da bi linea-segmentu jakinetarako linea-segmentu berri bat eraiki ahal izatea, haien luzera beste bien luzeren biderkaduraren berdina izan dadin. Era berean, $a$ luzera-lerroko segmentu baterako, $a^{-1}$ luzera-lerroko segmentu berri bat eraiki behar da. Bi kasuetan eraikuntza hori posible dela erakusteko erabil daiteke intertzeptazio-teorema.

Produktu bat eraikitzea	Alderantzizkoa eraikitzea

Lerro-segmentu bat proportzio jakin batean zatitzea

Lerro arbitrarioko ${\overline {AB}}$ segmentu bat proportzio batean zatitzeko, marraztu angelu arbitrario bat An ${\overline {AB}}$ hanka batekin. Beste hankan $m:n$ puntu distantziakideak eraiki, eta, gero, mgarren puntuaren bidez lerroa marrazten da azkeneko puntutik eta B puntutik, eta mgarren puntutik lerro paraleloa egiten da. Lerro paralelo hori nahi den proportzioan ${\overline {AB}}$ banatzen du. Eskuinean dagoen grafikoak ${\overline {AB}}$ linea-segmentu baten zatiketa erakusten du $5:3$ proportzio batean.

Neurketa eta azterketa

Keops piramidearen altuera

Zenbait iturri historikoren arabera, Tales matematikari grekoak Gizako piramide handiaren altuera zehazteko teorema gurutzatua aplikatu zuen.^[2] Piramidearen altuera kalkulatzeko intertzeptazio-teoremaren erabilera erakusten du hurrengo deskribapenak. Hala ere, ez du kontatzen Talesen jatorrizko lana, galdu egin baitzen.

Talesek piramidearen oinarriaren luzera eta makilaren altuera neurtu zituen. Gero, eguneko ordu berean, piramidearen itzalaren luzera eta makilaren itzalaren luzera neurtu zituen. Datu hauek eman zituen horrek:

makilaren altuera (A): 1,63 m
makilaren itzala (B): 2 m
piramidearen oinarriaren luzera: 230 m
piramidearen itzala: 65 m

Hortik konputatu zuen berak

C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}

A, B eta C ezagututa, orain gai izan zen konputatzeko teorema gurutzatua aplikatzeko

D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}

Ibai baten zabalera neurtzea

Talesen teorema zuzenean neurtu ezin den distantzia zehazteko erabil daiteke, hala nola ibai baten edo laku baten zabalera, eraikin altu edo antzekoen altuera. Eskuinaldeko grafikoak ibai baten zabaleraren neurketa erakusten du. $\|CF\|$ , $\|CA\|$ eta $\|FE\|$ segmentuak neurtu eta erabili egiten dira nahi den distantzia kalkulatzeko. $\|AB\|={\frac {\|AC\|\|FE\|}{\|FC\|}}$

Lerro paraleloak triangeluetan eta trapezoideetan

Talesen teorema erabil daiteke frogatzeko eraikuntza jakin batek lerro paraleloak (segmentua)s sortzen dituela.

Triangeluaren bi aldeetako batez besteko puntuak konektatuta badaude, ondoriozko lerro-segmentua triangeluaren hirugarren aldearekiko paraleloa da (triangeluen erdiko puntuaren teorema).	Trapezoide baten bi alde ez-paraleloen erdiko puntuak konektatuta badaude, trapezoidearen beste bi aldeekiko paraleloa izango da linea-segmentua.

Bibliografia

(online copy, 84. orr, Google Booksen)
(online copy, 10. orr, Google Booksen)
(online copy, 34. orr, Google Booksen)
(online copy, 3. orr, Google Booksen)

[[Kategoria:Euklidear geometria]]

↑ Kazarinoff, Nicholas D.. (2003). Ruler and the Round. Dover, 3 or. ISBN 0-486-42515-0..
↑ No original work of Thales has survived. All historical sources that attribute the intercept theorem or related knowledge to him were written centuries after his death. Diogenes Laertius and Pliny give a description that strictly speaking does not require the intercept theorem, but can rely on a simple observation only, namely that at a certain point of the day the length of an object's shadow will match its height. Laertius quotes a statement of the philosopher Hieronymus (3rd century BC) about Thales: "Hieronymus says that [Thales] measured the height of the pyramids by the shadow they cast, taking the observation at the hour when our shadow is of the same length as ourselves (i.e. as our own height).". Pliny writes: "Thales discovered how to obtain the height of pyramids and all other similar objects, namely, by measuring the shadow of the object at the time when a body and its shadow are equal in length.". However, Plutarch gives an account that may suggest Thales knowing the intercept theorem or at least a special case of it:".. without trouble or the assistance of any instrument [he] merely set up a stick at the extremity of the shadow cast by the pyramid and, having thus made two triangles by the intercept of the sun's rays, ... showed that the pyramid has to the stick the same ratio which the shadow [of the pyramid] has to the shadow [of the stick]". (Source: Thales biography of the MacTutor, the (translated) original works of Plutarch and Laertius are: Moralia, The Dinner of the Seven Wise Men, 147A and Lives of Eminent Philosophers, Chapter 1. Thales, para.27)

[1] Kazarinoff, Nicholas D.. (2003). Ruler and the Round. Dover, 3 or. ISBN 0-486-42515-0..

[mactutor-2] No original work of Thales has survived. All historical sources that attribute the intercept theorem or related knowledge to him were written centuries after his death. Diogenes Laertius and Pliny give a description that strictly speaking does not require the intercept theorem, but can rely on a simple observation only, namely that at a certain point of the day the length of an object's shadow will match its height. Laertius quotes a statement of the philosopher Hieronymus (3rd century BC) about Thales: "Hieronymus says that [Thales] measured the height of the pyramids by the shadow they cast, taking the observation at the hour when our shadow is of the same length as ourselves (i.e. as our own height).". Pliny writes: "Thales discovered how to obtain the height of pyramids and all other similar objects, namely, by measuring the shadow of the object at the time when a body and its shadow are equal in length.". However, Plutarch gives an account that may suggest Thales knowing the intercept theorem or at least a special case of it:".. without trouble or the assistance of any instrument [he] merely set up a stick at the extremity of the shadow cast by the pyramid and, having thus made two triangles by the intercept of the sun's rays, ... showed that the pyramid has to the stick the same ratio which the shadow [of the pyramid] has to the shadow [of the stick]". (Source: Thales biography of the MacTutor, the (translated) original works of Plutarch and Laertius are: Moralia, The Dinner of the Seven Wise Men, 147A and Lives of Eminent Philosophers, Chapter 1. Thales, para.27)

[1]

[2]