Wilsonen teorema

Wilsonen teorema matematikan erabili ohi den teorema bat da, eta zenbaki osoen zatigarritasunarekin dago erlazionatuta. Honela dio:

p zenbaki lehena bada, orduan (p -1)!≡ -1(mod p)

John Wilson

Kontrako inplikazioa ere egia da; hau da, $(p-1)!\equiv -1({\text{mod }}p)$ bada, orduan $p$ zenbaki lehena da, baina goiko enuntziatuari bakarrik deritzo Wilsonen teorema.

Historia

Edward Waring izan zen teorema John Wilsonek asmatu zuela esan zuena. Izan ere, Wilsonek idatziz jaso omen zuen teorema hau. Dena den, Wilsonek ez zuen frogatu, ez eta Waringek ere. Lagrange izan zen Wilsonen teorema frogatu zuen lehena, 1771n.

Hala ere, Abū ‘Alī al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Háytham (Alhazen izenez ezaguna) izan zen teorema hau enuntziatu zuen lehena, XI. mendean.

Adibidea

Taula honetan, $p$-ri 2tik 12rako balioak esleituz gero, $(p-1)!$-ek izango dituen balioak ageri dira, bai eta $(p-1)!/p$ egindakoan lortutako hondarrak ere. Izan ere, $p/q$ zatiketaren hondarra $p({\text{mod }}q)$ adierazten da. Hondar hori eta $-1({\text{mod }}p)$ berdinak badira, $p$ lehena izango da, eta errenkada horretako gelaxkak arrosez margotuta ageriko dira. $p/q$-ren hondarra eta $-1({\text{mod }}p)$ desberdinak badira, berriz, $p$ konposatua izango da, eta gelaxkak berdez margotuta egongo dira.

$p>1$	$(p-1)!$	$(p-1)!({\text{mod }}p)$	$-1({\text{mod }}p)$
2	1	1	1
3	2	2	2
4	6	2	3
5	24	4	4
6	120	0	5
7	720	6	6
8	5040	0	7
9	40320	0	8
10	362880	0	9
11	3628800	10	10
12	39916800	0	11

Froga

Aritmetika modularra erabilita

Absurdura eramanez, demagun $\exists {\text{ }}p\in \mathbb {N} :p>1{\text{ eta }}(p-1)!\equiv -1({\text{mod }}p)$, $p$ konposatua izanik.

Orduan, $p$ konposatua denez, $\exists {\text{ }}a\in \{2,...,p-1\}{\text{ non }}a\mid p$; hau da, zkh ($a$, $p$) $\neq 1$ izango da.

Beraz, lehenengo adierazpena honela idatz daiteke:

$a\cdot b\equiv -1({\text{ mod }}p)$,

$b=\prod _{1\leq k\neq a<p}k=1\cdot 2\cdot ...\cdot (a-1)\cdot (a+1)\cdot ...\cdot (p-2)\cdot (p-1)$ izanik.

$(-1)^{2}\equiv 1({\text{mod }}p)$ denez, idatz dezagun $(a\cdot b)^{2}\equiv (-1)^{2}\equiv 1({\text{mod }}p)$. Hori bete dadin, $a^{2}$-k biderketarekiko alderantzizkoa izan behar du modulu $p$-n. Baina hori ezinezkoa da, zkh ($a^{2}$, $p$) $\neq 1$ baita. Beraz, hipotesia gezurra da; hau da, $p$ lehena da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q276082