D’Alembert irizpidea

D'Alemberten irizpidea (edo zatiduraren irizpidea) gai positiboetako serientzat erabiltzen da, hauen izaera aztertzeko. Demagun $\sum a_{n}$ gai positiboetako seriea daukagula, eta demagun ondorengo limitea existitu egiten dela:

$\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=l$

(i) Baldin eta $l<1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea da.

(ii) Baldin eta $l>1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ dibergentea da.

Bestetik, $l=1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea zein dibergentea izan daiteke.

Froga

Lehenengo atala

Lehenik eta behin lehengo atala frogatuko dugu:

$l<1$ denez, $\epsilon ={1-l \over 2}>0$ hartuko dugu, eta bestetik badakigu gai positiboetako seriea denez $\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n_{0}$

Segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz:

$\left\vert {{a_{n+1} \over a_{n}}-l}\right\vert <{1-l \over 2}$

Ezkerretan daukagun "$-l$" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

${a_{n+1} \over a_{n}}<{1-l \over 2}+l$

Edo beste era batera esanda:

${1+l \over 2}=q<1$

bakandutako adierazpenari $q$ deituko diogu ($q<1$ izango dena $l<1$ delako), eta badakigu $\forall n\geq n_{0}$ dela, beraz:

${a_{n+1} \over a_{n}}\leq q={q^{n+1} \over q^{n}}\Longrightarrow {a_{n+1} \over q^{n+1}}\leq {a_{n} \over q^{n}}\leq {a_{n-1} \over q^{n-1}}\leq ...\leq {a_{n_{0}} \over q^{n_{0}}}=A$

Hau da $\forall n\geq n_{0}$ bada, $a_{n}<Aq^{n}$, beraz konparazio irizpidearen ondorioz:

$\sum a_{n}$ eta $\sum b_{n}$ gai positiboko serieak, $\sum a_{n}<<\sum b_{n}$

Kasu honetan $b_{n}=Aq^{n}$ izanik, eta $q<1$ denez $\sum b_{n}$ konbergentea da, eta ondorioz $\sum a_{n}$ ere konbergentea izango da.

Beraz lehengo atala frogatuta geratzen da.

Bigarren atala

Orain bigarren atala frogatuko dugu:

Kasu honetan $l=+\infty$ edo $l\in \mathbb {R}$ izan daiteke.

• $l=+\infty$ bada, $M=1$ hartuz, existitzen da $n_{0}\in \mathbb {N}$ non $n\geq n_{0}$ guztietarako ${a_{n+1} \over a_{n}}>1$ izango den.
• $l\in \mathbb {R}$ bada, eta $l>1$ izanik, kasu honetan hau frogatzeko $\epsilon =l-1>0$ hartuko dugu. Oraingoan ere segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz:

$\left\vert {{a_{n+1} \over a_{n}}-l}\right\vert <l-1$

Ezkerretan daukagun "$-l$" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

${a_{n+1} \over a_{n}}<l-1+l=1$

Hau da, bi kasuetan adierazpen berdinera iristen gara, existitzen da $n_{0}\in \mathbb {N}$ non $n\geq n_{0}$ guztietarako ${a_{n+1} \over a_{n}}>1$ izango den.

Beraz, $a_{n+1}>a_{n}$, hau da, gai positibotako segida gorakorra dugu eta ondorioz, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ ezin da 0 izan eta, hortaz, $\sum a_{n}$ dibergentea da.

Bigarren atala ere frogatu dugu.

Adibidea

$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}$ konbergentea da.

Lehenik eta behin $a_{n}$ finkatuko dugu:

$a_{n}={1 \over (2n+1)!}$

$a_{n}>0$ da $n\in \mathbb {N}$ guztietarako, beraz aplikatu dezakegu D'Alemberten irizpidea:

$\lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\lim _{n\to \infty }{{1 \over (2n+3)!} \over {1 \over (2n+1)!}}=\lim _{n\to \infty }{(2n+1)! \over (2n+3)!}$

Sinplifikatuz:

$\lim _{n\to \infty }{1 \over (2n+3)(2n+2)}=0=l$

Eta lehenengo atalaren ondorioz badakigu $l<1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea dela. Beraz, $\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}$ konbergentea da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q165638