Bikote ordenatu

Matematikan, bikote ordenatua bi elementuko multzo bat da, non ordena finkatuta dagoen. Bi parentesien artean adierazten da, beste edozein multzotatik desberdintzeko.

Adibidez, (a,b), (1,4) eta (sagarrondo,sagarra), bikote ordenatuak dira.

Bikote ordenatu baten lehenengo elementuari lehen bikotekidea deritzogu eta bigarrenari bigarren bikotekidea.

Bikote ordenatuetan, bikotekideen ordena garrantzizko da. Horrela, {a,b} eta {b,a} multzoak berdinak dira, (a,b) eta (b,a) bikote ordenatuak, aldiz, ez a ≠ b bada. Beraz, bi bikote ordenatuk hau betetzen dute:

$(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d$

Adibidez, futbol partida batean 0-4 eta 4-0 ez dira emaitza bera. Futbol partida baten emaitza bikote ordenatua da.

Bikote ordenatu guztien multzoa non lehenengo elementua X multzo jakin batetik eta bigarren elementua Y beste multzo batetik hartuak diren, X eta Y multzoen biderkadura kartesiarra du izena, $X \times Y$ idatzita.

N-kote edo tupla ordenatuak [aldatu]

Era berean, hirukote ordenatua (espazioko puntuak), laukote ordenatua edo n-kote ordenatua ere defini ditzakegu. hirukote ordenatu bat $(a, b, c)$ defini daiteke honela ere: $(a, (b, c))$ edo $((a, b), c)$ ; hots, bikote ordenatu bat bere baitan beste bikote ordenatu bat elementu bezala daukana.

Bide hori programazio-lengoaietan du islatzea: elementuen zerrenda bat bikote ordenatu habiaratuen eraikuntza moduan adieraz daiteke. Esate baterako, $(1, 2, 3, 4, 5)$ zerrenda $(1, (2, (3, (4, (5, ())))))$ bihurtzen da. Lisp programazio-lengoaiak zerrenda hauek erabiltzen ditu oinarrizko datu-egituratzat.

Bikote ordenatuak multzo-teorian [aldatu]

Multzo-teoria hutsean, non multzoak baino ez diren, (a, b) bikote ordenatua honela defini daiteke:

$~(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$

Definizio horrek Kuratowskiren bikotea izena du, eta guztiz oinarrizko da, formulatzeko axioma gutxi behar direlako (hedatze-axioma, bereizte-axioma eta bikotearen axioma).

$p$ bikote ordenatuaren $x$ lehen elementua izatearen baieztapena honela formulatu daiteke:

$\forall_{Y\in p}\qquad x\in Y$

eta p-ren x bigarren elementua izatearena honela:

$(\exist_{Y\in p}\quad x\in Y)\wedge(\forall_{Y_1\in p}\forall_{Y_2\in p}\quad (x \in Y_1 \wedge x\in Y_2) \Rightarrow Y_1=Y_2)$

Ohar gaitezen definizio horrek $p=(x,x)=\{\{x\},\{x,x\}\}=\{\{x\},\{x\}\}=\{\{x\}\}$ bikote ordenaturako ere balio duela.

Multzo-teoriaren ohiko ZF formulazioan erregulartasun-axioma barne hartuz, bikote ordenatua $(a,b)$ honela ere defini daiteke: $\{a,\{a,b\}\}$ multzoa. Nolanahi ere, erregulartasun-axioma beharrezkoa da, zeren hura gabe, $x$ eta $z$ multzoak kontuan hartuz gero, non $x=\{z\}$ , $z=\{x\}$ , eta $x\neq z$ diren, orduan izango genuke