Lorenz kurba

Errentaren banaketari buurzko Lorenz kurba bat: errenta txikieneko banakoen %40ek errenta osoaren %20 bakarrik jasotzen dute; %80ek errenta osoaren %60 jasotzen dute.

Lorenz kurba total baten banaketa-datuen kontzentrazioaren egitura aztertzen duen estatistika tresna da, batez ere errentaren banaketaren azterketan baina banaketa bat gertatzen den egoera guztietan ere erabil daitekeena. Zehatzago, banakoen portzentaje bakoitzeko total batetik banako horiek hartzen duten portzentajea irudikatzen du (adibidez, biztanle guztien %80 pobreenak baliabide guztien %20a bakarrik hartzen duela aipatzean, Lorenzen kurbako puntu bat adierazten da). Lorenzen kurbatik, gainera, banaketaren kontzentrazio edo ezberdintasunaren neurri batzuk eratortzen dira, Giniren koefizientea esaterako. 1907garren urtean Max O. Lorenz ekonomialariak garatu zuen errentaren banaketa aztertzeko, 1905 Leo Chiozza Money politikariak Riches and Poverty bere liburuan horren berri eman bazuen ere .

Eraketa

Eraketarako, txikienetik handienera ordenatutako $x_1,x_2,\ldots,x_n$ datuetatik abiatu behar da. Datu hauek metatu egiten dira $X_1,X_2,\ldots,X_n$ balioak sortuz. Metatu gabeko datuen batura, banatzen den guztirakoa edo totala alegia, kalkulatzen da. Balio hauek totalarekin zatituz, $q_i\,$ direlakoak lortuko dira, hots, elementu-multzo bakoitzak totaletik hartzen duen proportzioak.

Beste alde batetik, $1,2,\ldots,n$ balioak metatu behar dira, modu erlatiboan, n balioarekiko. $p_i\,$ balioak sortzen dira horrela. Balio hauek elementu-multzo bakoitzak elementu-kopuruarekin duen proportzioak ematen dituzte.

$p_i,q_i\,$ balioak x,y koordenatu-ardatzetan ezarriz eta puntuak lotuz, (0,0) puntutik abiatu eta (1,1) puntuan bukatuta, Lorenzen kurba irudikatuko da.

Adibidez, banakoen errentari buruzko inkesta batean lortutako datuak direla lehenengo zutabean agertzen direnak, batura edo errenta totala 1+1+...+13=40 izanik. Errenta hauen kontzentrazioa agertzen duen Lorenzen kurba osatzeko, errentak txikienetik handienera metatu eta errenta totalarekin errenta metatu bakoitzak duen proportzioa kalkulatzen da (adibidez, bigarren lerroan 2/40=0.05). Azken zutabean, banako multzo bakoitzak osatzen duen laginaren proportzioa kalkulatzen da (laugarren lerroan, lau banako metatu ondoren, lagin osoaren 4/10=%40 osatzen da).

xi (errentak)	Xi (errenta metatuak)	qi (% errenta)	pi (% banakoak)
1	1	0.025	0.1
1	2	0.05	0.2
1	3	0.075	0.3
2	5	0.125	0.4
2	7	0.175	0.5
3	10	0.25	0.6
4	14	0.35	0.7
5	19	0.475	0.8
8	27	0.675	0.9
13	40	1	1

Lorenzen kurba. Ohartu erabateko berdintasuna adierazten duen diagonala ere marrazten dela.

Tartetan bildutako datuetarako kalkulurako, ikus Giniren koefiziente artikuluko adibidea.

Lorenzen kurbako $p_i,q_i\,$ puntuen interpretazioari dagokionez, bostgarren lerroa hartuz adibidez, guztizkotik gutxien hartu duten pertsonen %50ek totaletik %17.5 bakarrik jasotzen dutela esan behar da. Horrela, Lorenzen kurbak guztizkotik gutxien jaso duten portzentaje jakin batek guztizko osotik zenbat hartzen duen adierazten du.

Lorenzen kurbarekin batera, diagonala ere marraztu ohi da, erreferentzia moduan, diagonalak erabateko berdintasun egoera irudikatzen baitu (gutxienekoen %10ek %10 hartzen du, %20k %20, ...). Lorenz-en kurba diagonaletik zenbat eta urrunago izan, kontzentrazioa oro har handiagoa izango da. Ohartu behar da Lorenzen kurba beti diagonalaren azpitik doala, banaketa datuak txikienetik handienera ordenatu direlako (adibidez, ez litzateke posible izango da gutxienekoen %20k %40 hartzea). Kurbaren malda gero eta handiagoa ere bada, datuak txikienetik handienera metatzen direlako. Horrela, Lorenzen kurbak kontzentrazioaren egituraren azterketa zehatza eta osotua egiteko aukera ematen du, talde ezberdinek (gutxienekoen %5ek ,%10ek, ...) total batetik zenbat hartzen duten adierazten du, talde jakin batera mugatu gabe.

Lorenzen kurbak erkatuz

Lorenzen kurba bat, bere ibilbide osoan, beste kurba baten gainetik badago, kontzentrazio txikiagoa erakusten du, gutxienekoen ehuneko ezberdin guztiek totalaren ehuneko altuagoa hartzen dutelako. Lorenzen kurba bi ebakitzen badira, berriz, ezin da esan hain zehatz zein den kontzentrazio handiena erakusten duena.

Kontzentrazioaren egituraren berri ematen badu ere, Lorenzen kurba ez du kontzentrazioaren neurri bakar, orokor eta zehatz ematen. Diagonaletik zenbat eta urrunago izan, kontzentrazioa orduan eta handiagoa bakarrik esan daiteke. Hau dela eta, diagonalaren eta Lorenzen kurbaren arteko azalera hurbiltzen duen Giniren koefizientea erabiltzen da kontzentrazio-neurri moduan.

Lorenzen kurba urdinak kontzentrazio handiagoa erakusten du Lorenzen kurba gorriaren azpitik doalako bere ibilbide osoan.

Lorenzen kurba biak ebaki egiten dira eta ez dago garbi zein den diagonalera bitartean azalera gehien utzi eta, beraz, kontzentrazio handiena duena. Giniren koefizientea kalkulatu behar da azalera horren hurbilketa bat egiteko. Errentaren banaketari buruzko Lorenzen kurbak balira, Lorenzen kurba urdinaren kasuan, errenta txikiko pertsonek arte eta errenta txikiagoa jasotzen dute, ibilbidearen lehenengo zatian urdina azpitik doalako.

Lorenzen kurba probabilitate banakuntzetan

Probabilitate banakuntza baterako ere defini daiteke Lorenzen kurba. Probabilitate banakuntza jarrai baterako , $p,\ L(p)\,$ puntuak definitutako kurba da, non $p\,$ banako edo elementuen proportzioa den, probabilitate metatu bat alegia; eta $L(p)\,$ probabilitate horri dagokion aldagaiaren balio metatua den. $X\,$ (m-tik M-rako balio posibleak hartzen dituena) zorizko aldagaiaren probabilitate banakuntzaren trinkotasun-funtzioa eta banaketa-funtzioa $f_X(x)\,$ eta $y=F_X(x)\,$ hurrenez hurren hartu eta $F_X^{-1}(x)\,$ banaketa funtzioaren alderantzizko funtzioa edo koantil-funtzioa izanik:

$L(p)=\frac{\int_{0}^pF_X^{-1}(y)dy}{\mu_X}= \frac{\int_{0}^pF_X^{-1}(y)dy}{\int_{m}^{M}xf(x)dx};\ \ \ 0<p<1$

Adibidez, errentak eta, oro har, tamainak modelizatzeko erabiltzen den Paretoren banakuntzarako honela kalkulatzen da Lorenzen kurba, banaketa-funtziotik abiaturik:

$F_X(x)=1-\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)^{-\alpha}\ ;\ x>0,\ \alpha>0,\ \sigma>0$

Bere alderantzizkoa kalkulatuz:

$F_X^{-1}(y)=\sigma(1-y)^{\frac{-1}{\alpha}};\ 0<y<1$

Itxaropen matematikoa hau da:

$\mu_X=\frac{\alpha\sigma}{\alpha-1}$

Lorenzen kurba azkenik hau da:

$L(p)=\frac{\alpha-1}{\alpha\sigma}\int_0^p\sigma(1-y)^{\frac{-1}{\alpha}}dy=1-(1-p)^{1-\frac{1}{\alpha}};\ 0<p<1$

Banakuntza arruntetarako Lorenzen kurbak

Banakuntza	Lorenzen kurba
Uniformea U(a,b)	$L(p)=\frac{2ap+(b-a)p^2}{a+b}$
Esponentziala	$L(p)=p+(1+\frac{\mu}{\sigma}^{-1})(1-p)ln(1-p)$

Ikus, gainera

• Robin Hood adierazlea