Itxaropen matematiko

Bi dado botata suertatzen diren puntuen baturaren probabilitate banakuntza: hurrengo jokaldietan denetariko emaitzak izan badaitezke ere (2,2,8,10), epe luzera batez beste itxaron daitekeen emaitza 7 da; 7 da, beraz, itxaropen matematikoa.

Itxaropen matematikoa, esperantza matematikoa edo itxarondako balioa zorizko aldagai baten batezbesteko balioa da, dagozkion probabilitateen arabera kalkulaturik. Intuitiboki, zorizko saiakuntza behin eta berriz errepikatuz epe luzera suertatuko litzatekeen emaitzen batez besteko balioa da, epe luzera itxaron edo espero daitekeen batez besteko emaitza alegia.

Estatistikan maiz erabiltzen den kontzeptua da: probabilitate-banakuntza bateko ezaugarri jakingarrienetako bat da, parametro ezezagun gisa hartzen dena eta datuetan baliokide duen batezbesteko aritmetiko sinplearen bitartez zenbatesten dena. Matematikan, neurri-teoriatik formulazio matematiko zorrotza du eta, aldi berean, maiz erabiltzen da problema aplikatuetan, hala nola ekonomia arloko erabakien azterketan. Zorizko jokoetan ere maiz kalkulatzen da, jokalari batek jokaldi bateko batezbesteko emaitza jakiteko. Erabaki eta jokoen eremu horietako paradoxa zenbaitetan ere agertzen da, hala nola San Petersburgo paradoxan eta Allaisen paradoxan. Halaber, baliteke mutur luzeak dituzten probabilitate banakuntzetan ez existitzea.

Kalkulua probabilitate banakuntza diskretu baterako

Bedi $\Omega$ zorizko aldagaiak hartzen dituen balio ezberdin guztien multzoa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

$\mu=E[X]=\sum_{\Omega}xp(x)$

Adibidea

Bi dado bota eta puntuen baturaren itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da. arestiko formulan adierazten den bezala x (puntuazioak) eta p(x) (probabilitateak) hurrenik hurren bidertuz eta emaitzak batuz:

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	batura
p(x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	1
xp(x)	2/36	6/36	12/36	20/36	30/36	42/36	40/36	36/36	30/36	22/36	12/36	252/36=7

Ondorioz, bi dado botata, puntuazioen itxaropen matematikoa 7 da.

Kalkulua probabilitate banakuntza jarraitu baterako

Irudiko dentsitate-funtzioan probabilitate gehiena 0tik gertuko balioetan biltzen da eta gutxiena 3tik gertu. Beraz, itxaropen matematikoa gertuago dago 0tik 3tik baino: E[X]=1.

Bitez $\Omega$ zorizko aldagaiak hartzen duen balioen tartea eta f(x) probabilitate banakuntza definitzen duen trinkotasun-funtzioa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da, dentsitate-funtziotik abiatuta:

$\mu=E[X]=\int_{\Omega}xf(x)dx$

Adibidea

Likido batean litroko dagoen substantzia-kopurua (mg) probabilitate-banakuntza honen araberakoa da (ikus alboko irudia):

$f(x)=\frac23-\frac29x\ ; \ \ 0<x<3$

Honela kalkulatzen da itxaropena:

$\mu=E[X]=\int_0^3x\Big(\frac{2}{3}-\frac{2}{9}x\Big)dx=1$

Itxaropen matematikoaren propietateak

Aldagai aldaketa lineala

X zorizko aldagaia izanik, Y=aX+b aldagai aldaketa lineala egiten bada:

$E[Y]=aE[X]+b$

Zorizko aldagaien batura

X₁, X₂, ...,X_n zorizko aldagaiak izanik, horien baturaren itxaropena horien itxaropenen batura da:

$E[X_1+X_2+\ldots+X_n]=E[X_1]+E[X_2]+\ldots+E[X_n]$