Giniren koefiziente

Estatistikan, Giniren koefizientea errentaren banaketa eta bestelako aldagaien kontzentrazioa edo ezberdintasuna neurtzen duen koefiziente bat da. Kontzentrazioa aztertzeko erabiltzen den Lorenzen kurban oinarriturik, kontzentrazioaren neurketa absolutu bat ematen du, 0 balio batetik, kontzentrazioa erabat uniformea denean, 1 balio batera, kontzentrazioa erabatekoa denean. Gainera, errentaren banaketaren kasuan, bi banakoen arteko errenta-aldearen batez bestekoarekin loturik dago. Errenta banaketaz gainera, beste arlo anizetan erabiltzen den koefizientea da, betiere kontzentrazioa aztertzeko, Wikipedian egiten diren ekarpenen kontzentrazioa, lankide ezberdinen artean, aztertzeko kasu. Koefizientea Corrado Gini estatistikari italiarrak asmatu zuen 1912an.

Giniren koefizientea eta Lorenzen kurba

Datuetan oinarrituta kalkulatu den Lorenzen kurba baterako, Ginik koefiziente sinple hau planteatu zuen hasiera batean, Lorenzen kurbako p_i,q_i (% metatua banako kopuruari buruz eta % metatua totalari buruz, hurrenez hurren) puntuetatik abiatuta:

$G=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(p_i-q_i)}{\sum_{i=1}^{n-1}p_i}$

Izan ere, p_i,q_i balioen arteko aldeak, i bakoitzeko, zenbat eta handiagoak izan, orduan eta kontzentrazio handiagoa dago.

Lorenzen kurba erabateko berdintasuna adierazten duen diagonaletik zenbat eta urrunago izan, kontzentrazioa handiagoa denez, Ginik beste formula hau ere, maizago erabiltzen dena, proposatu zuen diagonalaren eta Lorenzen kurbaren artean dagoen azaleraren balioa hurbiltzeko :

$G = \frac{\frac12- \frac{\sum_{i=1}^{n} (p_{i} - p_{i-1})q_i+\sum_{i=1}^{n} (p_{i} - p_{i-1})q_{i-1}}{2}}{2}=1- \sum_{i=1}^{n} (p_{i} - p_{i-1}) (q_{i} + q_{i-1})$

Lorenzen kurba diagonaletik zenbat eta urrunago, orduan eta kontzentrazio handiagoa. Beraz, kontzentrazioa Lorenzen kurbatik diagonalera dagoen azalera erlatiboaren bitartez, diagonalaren azpiko azalera osoarekiko, neur daiteke: a/(a+b). Giniren koefizientea ideia hau bereganatzen duen kontzentrazio-neurria da.

Bere ohiko formulazioan, Giniren koefizientea diagonaletik Lorenzen kurbara dagoen azalera erlatiboa da, diagonal azpiko azalera osoarekiko. Diagonal azpiko azalera 1/2 da. Beraz, diagonaletik Lorenzen kurbara dagoen azalera 1/2 ken Lorenzen kurbaren azpitik dagoen azalera da. Irudian, Lorenzen kurbako zati horietako bat agertzen da. Bere azalera honela kalkulatzen da: OACE=(OADE+OBCE)/2=[(p_i-1-p_i)q_i-1+(p_i-1-p_i)q_i]/2. Zati bakoitzeko azalera horrela kalkulaturik, 1/2 ken zati guztietako azaleren batura kalkulatzen da. Lorenzen kurbatik diagonalera dagoen azalera kalkulatzeko. Koefizientea normalizatzeko, emaitza azalera maximoarekin, hots, diagonal azpiko azalera osoarekin (1/2) zatitzen da.

Adibidea

Familien errentari buruzko inkesta bat egin ondoren, honako taula honetako lehenengo bi zutabeak eratu dira:

Errenta tartea	Familiak (n)	xi (errenta balioa)	n×xi (errenta totala)	Errenta total metatuak	qi (% errenta)	Familia metatuak	pi (% familiak)
0-10	10	5	50	50	0.0322	10	0.2
10-50	30	25	750	800	0.5161	40	0.8
50-100	10	75	750	1550	1	50	1

Errenta tarte bakoitzeko erdiko puntua hartzen da balio adierazgarri gisa, ohi den bezala. Lorenzen kurbako p_i, q_i balio bikoteak kalkulaturik, Giniren koefizientea kalkula daiteke. Lehenengo formula erabiliz:

pi (% errenta)	qi (% familiak)	pi-qi
0.2	0.0322	0.1678
0.8	0.5161	0.2839
1	1	0

$G=\frac{\sum_{i=1}^{n-1}(p_i-q_i)}{\sum_{i=1}^{n-1}p_i}=\frac{0.1678+0.2839}{0.2+0.8}=0.4517$

Bigarren formula, egokiagoa dena, erabiliz gero:

pi (% errenta)	qi (% familiak)	(pi-pi-1)(qi+qi-1)
0.2	0.0322	(0.2-0)×(0.0322+0)=0.00644
0.8	0.5161	(0.8-0.2)×(0.5161+0.0322)=0.32898
1	1	(1-0.8)×(1+0.5161)=0.30322

$G = 1- \sum_{i=1}^{n} (p_{i} - p_{i-1}) (q_{i} + q_{i-1})=1-(0.00644+0.32898+0.30322)=0.36136$

Bigarren formulak Lorenzen kurbak hartzen duen azalera erlatiboaren neurri zehatza da eta, beraz, lehenengo formulak errore nabarmena dakarrela ikusten da, batez ere aldagaiak hartzen dituen balio ezberdinak, 3 kasu honetan, gutxi direnean.

Banakako datuetarako kalkulua nola egiten den ikusteko, ikus Lorenzen kurba.

Giniren koefizientea eta banakoen arteko aldea

Frogatzen da Giniren koefizientea, errenten kasuan esaterako, erlazionaturik dagoela zoriz aukeraturiko bi banakoren errenten artean dagoen batez besteko alde erlatiboarekin, errentaren batez bestekoarekiko. Adibidez, Giniren koefizientea 0.4 bada, bi banakoren arteko errenten batez besteko aldea banako guztien batez besteko errentaren %80 da. Zehatzago, $\Delta\,$ eta $\overline{x}\,$ zoriz aukeraturiko bi banakoen balioen arteko aldearen batez bestekoa eta balio guztien batez bestekoa izanik:

$G=\frac{\Delta}{2\overline{x}}=\frac{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|}{2n^2\overline{x}}$

Balio guztiak txikienetik handienera ordenatzen badira, formula horrela geratzen dela froga daiteke:

$G=\frac{\Delta}{2\overline{x}}=\frac{2\sum_{i=1}^ni(x_i-\overline{x})}{n^2\overline{x}}$