Progresio geometriko

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Hazkundea geometriko bat: 3 zelulak 2na zelula kutsatzen dute aldi batean; hurrengo aldian, 3×2=6 zelulek 2na zelula kutsatzen dute; horrela, guztira 3, 6, 12, ... zelula kutsatzen dira aldi bakoitzean, segida geometriko bati jarraiki, 3, 3×2=6 ; 3×22=12. Guztira kutsatutako zelula kopurua serie geometriko bat da: 3+6+12.

Matematikan, a_1,a_2,\ldots,a_n\, zenbaki segida batek segida geometriko edo progresio geometriko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien zatiketa, r=\frac{a_n}{a_{n-1}} alegia, konstante bat denean. r\, konstanteari arrazoi deritzo. Segida geometriko bateko a_1+a_2+\cdots+a_n\, erako batuketa bati serie geometriko deritzo.

Adibidez, honako hau 2 arrazoi duen segida geometrikoa da : 3, 6, 12, 24, 48, 96, ... Aldi berean, 3+6+12+24+48+96 batuketa serie geometrikoa da.

Segida geometriko baten n-garren gaia formula honi jarraiki kalkulatzen da:

a_n=a_1 \times r^{n-1}\,

Serie geometriko baten batura honako formula honen bitartez kalkulatzen da, a\, lehenengo batugaia, r\, arrazoia eta n\, batugai-kopurua izanik:


S_g(n;a,r)=a\frac{1-r^n}{1-r}

Adibidez:

S_g(6;3,2)=3+6+12+24+48+96=3 \times \frac{1-2^6}{1-2}=192

Serie geometrikoaren formularen frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

a_1,a_2,\ldots,a_n segida geometriko baterako bi batuketa hauek definitzen dira:


S_g(n;a,r)=a_1+a_2+\cdots+a_n\,
S_g(n;a,r)r=a1r+a_2r+\cdots+a_nr=a_2+a_3+\cdots+a_n+a_nr\,

Bi batuketa horien kenketa egiten bada:


S_g(n;a,r)-S_g(n;a,r)r=a_1-a_nr\,
S_g(n;a,r)(1-r)=a_1-a_1r^{n-1}r=a_1-a_1r^n=a_1(1-r^n)\,
S_g(n;a,r)=a_1\frac{1-r^n}{1-r}\,