Analisi harmoniko

Matematikan,analisi harmonikoak (batzuetan Fourierren analisi ere deitua) funtzioen edo seinaleen irudikapena aztertzen du, "oinarrizko" uhin edo harmonikoen gainjartze gisa.

Fourierren serieen eta Fourierren transformatuen nozioak ikertu eta orokortzen ditu. XIX. eta XX. mendeetan zehar, aztergai garrantzisua bihurtu da. Hainbat eremutan ditu aplikazioak, hala nola seinaleen prozesamenduan, espektroskopian, mekanika kuantikoan edo neurozientzian.

Fourierren transformatu klasikoak (R ⁿ) ikerketa-arlo bat izaten jarraitzen du, batez ere objektu orokorragoei dagokienean, hala nola banaketa ausartetan. Adibidez, f banaketari baldintza batzuk ezartzen badizkiogu, baldintza horiek Fourierren f-ren transformatuaren arabera itzultzen saia gaitezke. Horren adibide da Paley–Wiener-en teorema.

Fourierren serieak behar bezala azter daitezke Hilberten espazioaren testuinguruan, eta horrek lotura bat ematen du analisi harmonikoaren eta analisi funtzionalaren artean. FourierRen transformatuaren lau bertsio daude, eta transformazioak mapatutako espazioen mende daude.

Fourierren seriea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Artikulu nagusia: «Fourierren serie»

Funtzio, seinale edo uhin periodiko bat deskonposatzeko erabiltzen dira Fourierren serieak, funtzio, seinale edo uhin harmoniko edo sinusoidalen batura infinitu edo finitu gisa. Hau da, Fourierren serie bat serie trigonometriko mota bat da.

Analisi harmoniko aplikatua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Analisi harmonikoak zientzian eta ingeniaritzan dituen aplikazio asko fenomeno edo seinale bat banakako osagai oszilakorrez osatuta dagoela dioen ideia edo hipotesiarekin hasten dira. Ozeanoetako mareak eta soka dardarkariak adibide arrunt eta errazak dira. Ikuspegi teorikoa ekuazio diferentzial baten edo ekuazio sistema baten bidez sistema deskribatzen saiatzean datza, funtsezko ezaugarriak aurresateko, oszilazio-osagaien anplitudea, maiztasuna eta faseak barne. Ekuazio espezifikoak eremuaren araberakoak dira, baina teoriak, oro har, aplikagarriak diren printzipio nagusiak adierazten dituzten ekuazioak aukeratzen saiatzen dira.

Ikuspegi esperimentalean, fenomenoa zehaztasunez kuantifikatzen duten datuak lortzen dira. Adibidez, mareen azterketa batean, esperimentalistak uraren sakoneraren laginak hartuko lituzke, denboraren arabera, tarte nahikoa utzita oszilazio bakoitza ikusteko, eta iraupen nahikoa luzearekin, ziur aski aldi oszilakor ugari sartzeko. Soka dardarkariei buruzko azterketa batean, ohikoa da esperimentalistak soinu-uhin baten forma hartzea, gutxienez espero den maiztasun altuena baino bi aldiz abiadura handiagoan, eta espero den maiztasun txikieneko periodoa baino askoz iraupen luzeagoan.

Adibidez, eskuineko goiko seinalea baxu baten soinu-uhinaren forma da, eta A nota bati dagokion soka ireki bat ukitzen du, 55 Hz-eko oinarrizko maiztasunarekin. Uhin-formak oszilakorra dirudi, baina uhin sinusoidal hutsa baino konplexuagoa da, eta horrek adierazten du uhin gehigarriak daudela. Soinua sortzen duten uhin-osagaia ezberdinak Fourierren transformatua izeneko analisi matematikoko teknika aplikatuz errebelatu daitezke. Teknika horren emaitza beheko irudian ageri da. Kontuan izan 55 Hzeko frekuentzian gailur handi bat dagoela, baina badirela ere beste gailur batzuk 110 Hz-eko, 165 Hz-eko, eta 55 Hz-eko multiplo osoei dagozkien beste maiztasunetan. Kasu horretan, 55 Hz sokaren bibrazioaren oinarrizko frekuentzia gisa identifikatzen da, eta multiplo osoak harmonikotzat hartzen dira.