Funtzio (matematika)

Artikulu hau "Kalitatezko 2.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da
Artikulu hau Wikipedia guztiek izan beharreko artikuluen zerrendaren parte da
Wikipedia, Entziklopedia askea

Funtzio bat da bi multzo hartu
eta erlazionatzea
lehen multzokoak bigarreneko
horiengana bidaltzea
baldintza bat da eta nahi nuke
gutunekin azaltzea
ez da posible gutun berbera
bi lekutan azaltzea
baina posible da zenbait gutun
leku berera heltzea.

Matematikan, funtzio edo aplikazioa bi multzoren elementuen arteko f erlazio bat da, X multzo bateko x elementu bakoitzari Y multzoko y elementu bakarra esleitzen diona.

Adibidez, bizikleta batek egindako s ibilbidea (km) honela iragandako t denborarekin (ordutan) honela lotzen dela adieraz daiteke funtzio baten bitartez, abiadura 10km/h denean: s=10t, horrela t=1,2,3 balioak ordeztuz funtzioan 1, 2 eta 3 ordutara egindako bideak 10, 20 eta 30 km dira. Aurreko adibidean, funtzioa era analitikoan edo formulaz adierazi bada ere, funtzioa multzoen arteko edonolako erlazio batez irudika daiteke, ondoko irudian azaldu bezala, betiere x balio bakoitzari y balio bakarra badagokio. Funtzioaren kontzeptua funtsezkoa da matematikan, eta horri esker zientzian eta teknologian funtsezkoa den aldaketa kontzeptua garatu ahal izan da, deribatuen eta integral bitartez, besteak beste.

Formalki honela definitzen da f funtzio bat:

.

X multzoari izate-eremu, abiaburu-multzo edo dominio deritzo, eta Y multzoari kodominioa. Y kodominioan X multzoko balioek hartzen duten balioen multzoa irudi-multzo edo helburu-multzoa da. x elementu bakoitzari argumentu deritzo, eta dagokion y balioari irudi edo balio.

Sarrera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio bat objektu matematiko bat izan ohi da, bi magnitudeen arteko menpekotasuna adierazten duena, hain zuzen ere. Gainera, hainbat alderdi osagarrien bidez aurkeztu daiteke. Funtzioen adibide oso ohikoa gorputz baten higiduran posizioaren eta denboraren arteko erlazioa da, lehen aipatu bezala.

Horrez gain, matematikan, funtzio batek menpeko aldagai batek beste aldagai independenterekin duen erlazioa ere adierazten du askotan.

Hala ere, aipatu beharra dago funtzio batek ez dituela soilik aldagai matematikoak erlazionatzen, beste edozein objekturen menpekotasuna ere adierazten dituelako.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

X eta Y bi multzo emanda, haien arteko f asoziazioa , X multzoko edozein elementuri Y multzoko elementu bakarra esleitzen diona da. Orduan, X multzoari izate edo definizio-eremua eta Y multzoari koeremua esaten zaio.

X eremuko x elementuari aldagai independente deritzo. Y koeremuko y elementua berriz, aldagai dependentea izango da. Sarrera eta irteerako balioak ere deitzen zaizkie, hurrenez hurren.

Definizio hau zehatza da, nahiz eta matematikan definizio formal zorrotzagoa erabiltzen den, lehen ikusi dugun bezala, funtzioak objektu konkretu gisa eraikitzen dituen bikote ordenatuen ideiatik. Laburbilduz, funtzio bat bikote ordenatuen multzoa da, zeinetan bikote bakoitzaren hasierako elementua ez den errepikatzen.

Funtzio bat definitzeko moduak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Balioak zerrendatuz[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Multzo finitu batean, funtzio bat aurreirudiaren elementuekin erlazionatuta dauden irudiaren elementuak zerrendatzen defini daiteke. Adibidez, bada funtzioa bezala defini daiteke.

Formula baten bidez[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adibidez, goiko funtzioa , formularekin defini daiteke.

Funtzioak askotan hura definitzen duten formularen arabera sailkatzen dira:

  • Funtzio koadratikoak: non a, b, c konstanteak diren.
  • Funtzio polinomikoak: zenbaki arrunten gehiketan, kenketan, biderketan eta berreketan oinarritutako formulen bidez deskribatzen dira. Adibidez, eta
  • Funtzio arrazionalak: bi funtzio polinomikoen zatidura. Adibidez, eta

Funtzio bat adierazteko moduak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Orokorki funtzioak adierazteko grafikoak erabiltzen dira. Grafiko baten bidez, funtzio baten irudi intuitibo bat egin dezakegu. Adibidez, beherakorra edo gorakorra den ikus dezakegu. Funtzio batzuk barra-diagramen bidez ere adieraz daitezke.

Funtzio baten grafikoa

Grafikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

funtzio bat emanda, funztio horren grafikoa, formalki, multzoa da. Orokorki, eta zenbaki errealen azpimultzoak direnan, 2 dimentsioko koordenatu sistema bateko x,y koordenatuak dituen puntu bat bezala identifika daiteke.

Balio taulak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio baten eremua finitua bada funtzio hori bat balio taula bat bezala adieraz daiteke. Adibidez bidez definitutako biderketa funtzioa ohiko biderketa taula bezala adieraz daiteke:

y
x 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25

Barra diagramak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Barra diagramak eremu gisa zenbaki arruntak, zenbaki osoak edo multzo finitua duten funtzoak adierazteko erabil daiteke. Kasu honetan, x eremuko elementu bat x-ardatzeko tarte bat bezala adierazten da, eta f(x) funtzioaren balioa oinarria x-k hartzen duen tartea eta altuera f(x) duen laukizuzena.

Notazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioak denotatzeko zenbait modu daude. Erabiltzen den notazio komunena notazio funtzionala da, hurrengo atalean definituta dagoena.

Notazio funtzionala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Notazio funtzional batean, funtzioari izen bat ematen zaio, hala nola f, eta bere definizioa x argumentu ezplizituarekin duen erlazioaren arabera ematen da, x -ren formula bat erabiliz. Adibidez, zenbaki errealetatik zenbaki hori gehi 1-era doan funtzioa honako moduan denotatzen da

.

Funtzio bat idazkera honetan definitzen bada, bere eremua eta koeremua inplizituki hartzen dira biak , zenbaki errealen multzoa. Baldin eta formula ezin bada zenbaki erreal guztietan ebaluatu, orduan eremua hartzen da inplizituki -ren azpimultzo multzo maximotzat, non formula ebaluatu daiteke.

Beste adibide konplexuago bat honako funtzio hau izango litzateke

f(x)=\sin(x^2+1)

Adibide honetan, f funtzioak zenbaki erreal bat hartu, bere karratua egin eta emaitzari 1 gehitu ondoren geratzen den zenbakiaren sinuaren emaitza itzultzeen du irteera gisa.

Funtzioa denotatzen duen ikurrak hainbat karakterez osatuta dagoenean eta anbiguotasunik sor ez denean, notazio funtzionalaren parentesiak ez dira jarri behar. Hala nola, sin(x) -ren kasuan, hori idatzi beharrean sin x idazten ohi da.

Notazio funtzionala Leonhard Eulerrek 1734an erabiltzen hasi zuen. Asko erabiltzen diren funtzio batzuk hainbat hizkiz osatutako ikur batez adierazten dira(normalean bi edo hiru, haien izenaren laburdura). Kasu honetan erromatar mota bat erabili ohi da ordez,"sin" adibidez sinu funtziorako, letra bakarreko simboloetarako letra etzanda jarriz.

Notazio hau erabiltzerakoan, sarritan f(x) notazioa f x-n duen balioari edo funtzio berari erreferentzia egin diezaiokeen notazio-gehiegikeriarekin aurkitzen da. Aurretik x aldagaia deklaratu bazen, orduan f(x) notazioak anbiguotasunik gabe f-ren balioa x-n esan nahi du. Bestela, komenigarria da notazio biak aldi berean daudela ulertzea; horri esker, f eta g bi funtzioren adierazpena modu labur batean idatz daiteke f(g(x)) idazkeraren bidez.

Dena den, f eta f(x) bereiztea garrantzitsua gerta daiteke funtzioek beste funtzio batzuen sarrera gisa balio duten kasuetarako. (Funtzio batek beste funtzio bat bere sarrera gisa duena, funtzionala deritzo). Notazio-funtzioen beste ikuspegi batzuk, behean zehazten direnak, arazo hau sahiesten dute, baina gutxiago erabiltzen dira.

Gezi-notazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Gezi-notazioak funtzio inline baten araua definitzen du, funtzioari izenik eman beharrik gabe. Adibidez, zenbaki errealetatik zenbaki hori gehi 1-era doan funtzioa moduan denotatzen da. Berriz ere, eremua eta koeremua -n.

Eremua eta koeremua esplizituki ere adieraz daitezke, hala nola:

Honek sqr funtzio bat definitzen du zenbaki osoetatik bere sarrerako karratua itzultzen duen zenbaki osoetara.

Gezi-notazioaren ohiko aplikazio gisa demagun bi aldagaietako funtzioa da, eta partzialki aplikatutako funtzio bati erreferentzia egin nahi diogu bigarren argumentua t0 balioari finkatuz sortu da, funtzio-izen berririk sartu gabe. Aipatutako kasua adierazi litzateke gezi-notazioa erabiliz. adierazpena ( x-tik f(x, t0)-ra hartzen duen kasua" gisa irakurrita) funtzio berri hau argumentu bakarrarekin adierazten da, eta f(x, t0) adierazpenak f(x, t0) puntuko f funtzioaren balioari egiten dio erreferentzia (x0, t0).

Indize-notazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Indize-notazioa erabili ohi da notazio funtzionalaren ordez. Hau da, f(x) idatzi beharrean idazten da.

Hau da normalean, eremua zenbaki arrunten multzo gisa duten funtzioen kasua. Funtzio horri segida esaten zaio, eta, kasu honetan, elementuari sekuentziaren n-garren elementu deritzo.

Funtzioen historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioaren kontzeptua objektu matematiko independente gisa ez zen erabili XVII.mendera arte, kalkuluaren hasierara arte, hain zuzen. René Descartesek, Isaac Newtonek eta Gottfried Wilhelm Leibnizek funtzio ideia bi kantitate aldakorren arteko mendekotasun gisa ezarri zuten. Gainera, Leibnizek "funtzio", "aldagai", "konstante" eta "parametro" terminoak ere sortu zituen. F (x) idazkera erabiltzen lehenak, aldiz, Alexis Claude Clairaut frantziarra eta Leonhard Euler suitzarra izan ziren, Commentarii de Saint Petersburg izeneko lanean, 1736an. [1] [2]

Hasiera batean, adierazpen analitiko bat bezala identifikatzen zen funtzio bat, bere balioak kalkulatzeko aukera ematen zuena. Hala eta guztiz ere, definizio honek muga batzuk zituen, adierazpen ezberdinek balio berdinak itzul zitzaketelako, eta bi kantitateren arteko menpekotasun guztiak ezin zirelako modu horretan adierazi. Hori dela eta, 1837an, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet matematikari alemaniarrak zenbakizko funtzioaren definizio modernoa proposatu zuen bi zenbaki-multzoren arteko edozein elkarrekikotasun bezala, hasierako multzoko zenbaki bakoitza bukaerako zenbaki bakarrarekin lotuz.

Gainera, funtzioei buruzko intuizioak ere bilakaera izan zuen. Hasieran, bi kopururen arteko menpekotasuna prozesu fisiko bat izango balitz bezala irudikatzen zen. Beraz, bere adierazpen aljebraikoak zegokion lege fisikoa jasotzen zuen. Abstrakzioa geroz eta handiagoa zen, adibide batzuk aurkitu baitziren adierazpen analitiko eta irudikapen geometriko gabeak, edo fenomeno naturalekin erlaziorik ez zutenak.

XIX. mendean zehar, Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass eta Georg Cantor matematikari alemaniarrek, zenbaki errealen azterketa sakon batean oinarriturik, funtzioen teoria garatu zuten, zenbaketa-sistematik independentea zena. Multzoen teoriaren garapenean, XIX eta XX. mendeetan, gaur egun erabiltzen den funtzioaren definizioa sortu zen, hau da, edozein objektu-multzoren arteko korrespondentzia gisa, ez zutela zertan zenbakizkoak izan behar.

Izate-eremua eta irudi-multzoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioa definitua dagoen elementuen multzoari domeinu, definizio- edo izate-eremua deitzen zaio. Funtzioaren bidez, multzo honetako elementuak beste multzo bateko elementuekin erlazionatzen dira, koeremua, helburuko- edo helmugako-multzoa bezala izendatua. Helburuko multzoko elementuek, ordea, ez daukate zertan jatorrizko multzoko elementuen irudi izan; helburuko elementu hauen artean, batzuk izate-eremuko elementu bakar baten irudia izango dira, besteak hainbat elementurena, eta beste batzuk inorena.

Izate-eremuko elementuen irudia diren helburuko multzoko elementuek osatzen duten multzoari irudi deritzo (Im(f)), eta helburuko multzoaren azpimultzo bat da:

.

Hau da, X eremuaren elementuekin erlazionatutako Y koeremuko elementuek funtzioaren irudia osatzen dute. f : X → Y funtzioa izanik, X eremuko x elementu batekin bat datorren Y koeremuko elementuei irudi esaten zaie.

Aldiz, f funtzioko Y koeremnuko y elementuaren aurre-irudia X eremuko elementuan multzoa da eta f−1(y) -en bidez adierazten da.

Izate-eremu ohikoenen artean zenbaki arrunt eta zenbaki errealen multzoa daude.

Funtzio bat ondo definitua egon dadin, izate-eremuko elementu guztiek helburuko elementuekin lotura eduki behar dute. Adibidez, f(x) = 1/x funtzioaren izate-eremua ezin daiteke zenbaki errealen multzoa izan, x=0-rentzat ez baitago definitua. Multzotik zero zenbakia kenduz, hots izate-eremua ℝ - {0} izanez, funtzioa ondo definitua gelditzen da.

Injektibotasuna eta supraiektibotasuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Domeinuko eta funtzioaren barrutiko elementuen arteko erlazioaren arabera, funtzioak hainbat modutan sailka daitezke.

Funtzio injektiboa
  • Irudiko elementu bakoitzari domeinuko elementu bakarra dagokionean, funtzioa injektiboa da. Baliokideak diren hurrengo eratan idatz daiteke:
.
Domeinuko bi elementu hartuta, beraien irudiak ezberdinak izango dira, beraz. Bi funtzio injektiboren konposaketak funtzio injektiboa ematen du; hau da, g o f funtzio konposatua injektiboa bada, f funtzioa injektiboa izango da.

Oharra: Funtzioa injektiboa dela esaten dugunean, aurretik aipatutako bi inplikazioak betezen dira, baina ez da ondorengo inplikazio hau betetzen:. Azken hau, funtzio izatearen definizioa da.

Funtzio supraiektiboa
  • Helmugako multzoko elementu oro domeinuko elementuren baten irudi bada, funtzioa supraiektiboa da,
.
Kasu honetan, helmugako multzoa eta irudia multzo bera dira, f(X) = Y. Funtzio injektiboetan gertatzen den bezala, bi funtzio supraiektiboren konposaketak funtzio supraiektibo bat ematen du; g o f funtzio konposatua supraiektiboa bada, g funtzioa supraiektiboa izango da derrigorrez. Edozein eratako funtzio bat f: X → Y supraiektibo bihurtzeko, nahikoa izango da helmugako multzotik irudi ez diren elementuak kentzea, hau da, f: X → Y' funtzioa hautatzea, non Y' = f(X).
Funtzio bijektiboa
  • Funtzioa injektiboa eta supraiektiboa bada, bijektiboa izango da, eta irudiko elementu bakoitza domeinuko elementu bakar baten irudi izango da:
.
Berriro ere, bi funtzio bijektiboren konposaketak funtzio bijektiboa emango du, hau da, f eta g bijektiboak badira, orduan g o f funtzio konposatua ere bijektiboa izango da. Gainera, g o f konposaketan, f funtzioak injektiboa izan behar du eta g funtzioak supraiektiboa derrigorrez. Hala ere, konposaketa bijektibo batean, lehenengo funtzioak ez du zertan supraiektiboa izan behar eta bigarrenak ez du injektiboa izan behar.

Esate baterako, f(x) = x² funtzioan, domeinu bezala ℝ zenbaki errealen multzoa hartuz, eta helburuko multzoa multzo bera, funtzioa ez da injektiboa, f(x) = f(-x) delako. Gainera, ez da supraiektiboa ere, ez baita sekula negatiboa. Funtzio bera, baina helburuko multzotzat ℝ+ = {x ∈ ℝ / x ≥ 0} hartuz, hau da, zenbaki erreal positiboak soilik, supraiektibo bilakatzen da, helburuko multzo honen elementu oro gutxienez domeinuko elementu baten irudi baita. Hala ere, injektibo ez izaten jarraituko du, domeinuko elementu bakoitzak bi irudi izango dituelako. Funtzioa injektiboa izateko, domeinua ere ℝ+ hautatu behar da eta horrela, funtzio hau bijektiboa izango litzake.

Funtzioen aljebra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzioen konposaketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Funtzioen konposaketa»

Funtzioen konposaketan, funtzio baten irudia erabiltzen da bestearen aldagai aske bezala. f: X → Y eta g: Y' → Z bi funtzio izanik, f-ren irudia g-ren domeinuan dagoela suposatuz, hots Y ⊆ Y', g o f: X → Z funtzio konposatua definitzen da:

.

Idazkeraren ordena garrantzitsua da; kasu honetan, x aldagaiari f funtzioa ezartzen zaio, eta ondoren, emaitzari g funtzioa. Oro har, lege trukakorra ez da betetzen, hau da, g o f = f o g ez da egia izango; funtzio berezi batzuek bakarrik betetzen dute legea. Aldiz, lege asoziatiboa funtzio guztiek betetzen dute:

.

Alderantzizko funtzioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Alderantzizko funtzio»

f: X → Y funtzio bijektiboa bada, y bakoitza f(x) = y betetzen duen x bakarrarekin lotzen duen funtzioa alderantzizko funtzioa deitzen da, eta f -1: Y → X bezala idazten da non f -1(b)=a den izanik f(a)=b betetzen duen elementua. Alderantzizko funtzioa bakarra da, eta existitu dadin beharrezko eta nahiko baldintza funtzioa bijektiboa izatea da.

Alderantzizko funtzioek propietate hauek betetzen dituzte, f: A → B funtzioa izanik:

  1. f funtzioa bijektiboa bada (bai injektiboa bai supraiektiboa bada), f -1 ere bijektiboa izango da.
  2. f funtzioa bijektiboa bada, f -1of = 1A (1A identitate funtzioa da), f of -1 = 1B eta (f -1)-1=f
  3. g: B → A izanik, gof = 1A eta fog = 1B badira, orduan esan daiteke f funtzioa bijektiboa dela eta g = f -1 dela.
  4. f: A → B eta g: B → C bijektiboak badira, orduan gof ere bijektiboa izango da eta gainera (gof)-1 = f -1og-1

Identitate funtzioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Identitate funtzio»

Identitate funtzioak multzo bateko elementu bakoitza elementu berean bilakatzen du:

Idazkerari dagokionez, multzo bakoitzak bere identitate funtzioa dauka, eta horregatik erabiltzen da azpiindizea. Konposaketan, identitate funtzioa elementu neutroa da:

non X eta Y f funtzioaren domeinua eta helmugako multzoa diren, hurrenez hurren. Gainera, f: X → Y funtzioa bijektiboa baldin bada, hurrengoa betetzen da:

Funtzio errealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

f: X → Y funtzioa erreala dela esaten da Y multzoa zenbaki errealen multzoaren barnean baldin badago. Domeinua multzo horren barruan baldin badago, funtzioa aldagai errealekoa dela esaten da. Funtzio hauen garrantzia ezaguna da, hainbat arlotan duten aplikazioengatik eta betetzen duten propietate abarrengatik.

f: X → ℝ erako funtzioen multzoari ℱ(X,ℝ) deituz, batuketa, produktua eta zenbaki batengatik biderketa defini daitezke:

Eragiketa hauekin, ℱ (X,ℝ) espazio bektoriala da batuketa eta zenbaki batengatik produktuarekiko, eta eraztuna batuketa eta produktuarekiko. Zenbaki errealen multzoaz gain, beste edozein eraztunetan eragiketa berberak defini daitezke.

Aldagai errealeko funtzio errealetan hainbat ezaugarri definitzen dira, besteen artean:

Funtzio bornatua
Funtzio baten irudia bornatua dagoenean funtzioa bera bornatua dagoela esaten da. Adibidez, f(x) = sin(x) funtzioaren irudia [-1,1] tartea da. Irudia goitik edo behetik bornatua baldin badago funtzioa goitik edo behetik bornatua dagoela esaten da; f(x) = |x| funtzioan, irudia [0,[ tarteak osatzen du, behetik bornatua dagoelarik. Matematikoki, f: X → ℝ, X ⊆ ℝ funtzioa bornatua egotea edo ez hurrengo eran adieraz daiteke:
Funtzio bornatua:
Funtzio ez bornatua:
Funtzio monotonoa
Funtzio monotono bat ordena gordetzen duen funtzioa da. Funtzio monotono gorakorrean, x < y emanik, f(x) ≤ f(y) betetzen da; monotono beherakorrean, ordena aldatzen da eta x < y denean f(x) ≥ f(y) da. eta ikurrak < eta >-gatik aldatuz, gorakortasuna eta beherakortasuna zentzu zorrotzean dira. Funtzio bat zentzu zorrotzean monotonoa denean, injektiboa da.
sin(x) funtzioa (gorriz) bakoitia da, eta cos(x) funtzioa (berdez) bikoitia. Biak periodikoak dira, periodoaz
Funtzio bakoiti eta bikoitiak
Funtzio bat bikoitia baldin bada, f(x) = f(-x) betetzen da, x guztientzako. Geometrikoki, funtzio bikoiti bat y ardatzarekiko simetrikoa da.
Funtzio bakoitian, f(x) = -f(-x) betetzen da, x guztientzako. Geometrikoki, funtzio bakoitia jatorriarekiko simetrikoa da.
Aldi berean bakoitia eta bikoitia den funtzio bakarra beti zero den funtzio konstantea da, f(x) = 0. Funtzio potentzialetan, xn erakoak alegia, n bakoitia baldin bada funtzioa bakoitia izango da; era berean, n bikoitia izan ezkero funtzioa bikoitia izango da. Beste propietate batzuen artean, funtzio bakoiti baten deribatua (existitu ezkero) bikoitia izango da eta funtzio bikoiti batena bakoitia.
Funtzio periodikoa
Funtzio periodiko baten, balioak periodo bakoitzaren ostean errepikatu egiten dira: f(x) = f(x + P), non P > 0 periodoa den. Orokorrean, periodo bezala berdintza betetzen duen baliorik txikiena hartzen da. Funtzioa P-periodikoa baldin bada, nP-periodikoa ere izango da, zenbaki arrunt diren n guztiek ere berdintza betetzen baitute, f(x + nP) = f(x)

Jakindun logoa.png
Ariketak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]


Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. Dunham, William. (1999). Euler : the master of us all. [Washington, D.C.] : Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3. (Noiz kontsultatua: 2021-10-18).
  2. Eves, Howard. (1997). Foundations and fundamental concepts of mathematics. Mineola, N.Y. : Dover Publications ISBN 978-0-486-69609-6. (Noiz kontsultatua: 2021-10-18).

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio analitikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio ez analitikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aljebran[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lotutako kontzeptuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]