Aplikazio lineal

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa

Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein $T$ aplikaziori:

Bitez $K$ gorputzaren gainean eraikitako $V$eta $W$ bektore-espazioak. $T:V\to W$ aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako $\forall u,v\in V$ eta edozein eskalarrendako $\forall k\in K$ ondokoa betetzen bada:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
2. $T(ku)=kT(u)\,$.

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

• $T(ku+k'v)=kT(u)+k'T(v)$.

Adibideak

1. Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:
   $${\begin{array}{cccl}T:&V&\to &V\\&x&\mapsto &T(x)=x\end{array}}$$
2. Homoteziak $n$-dimentsioko $\mathbb {K}$ gorputzean ere aplikazio linealak dira, non $k\in \mathbb {K}$ handitze ($k>1$) edo txikitze ($k<1$) konstantea baita:
   $${\begin{array}{cccl}T:&\mathbb {K} ^{n}&\to &\mathbb {K} ^{n}\\&x&\mapsto &T(x)=kx\end{array}}$$
   Demostrazioa: bitez $x,y\in \mathbb {K} ^{n},a,b\in \mathbb {K}$. Orduan $T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y)$.

Irudia eta nukleoa

Irudia

Izan bitez $\mathbb {K}$ gorputzaren gaineko $V,W$ espazio bektorialak. $T:V\to W$ aplikazio lineala definituz, orduan, $T(f)$ multzoari aplikazioaren irudia deritzo definizioz, eta $\operatorname {Im} f$ ere adierazten da. Multzo hau $W$-ren azpimultzoa da, are gehiago, $\operatorname {Im} f$ $W$-ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin, $\operatorname {Im} T=W$ bada.

Nukleoa

$T:V\to W$ hartuz, bere nukleoa ($\operatorname {Ker} T$ adierazia) honako hau izango da:

$\operatorname {Ker} T=\{v\in V:T(v)=0_{W}\}=T^{-1}(\{0_{W}\})$

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera, $\operatorname {Ker} T$ $V$-ren azpiespazio bektoriala da ere.

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin $\operatorname {Ker} T=\{0_{V}\}$ bada.

Aplikazio linealen oinarrizko teorema

Izan bedi $T:V\to W$ aplikazio lineala. Orduan, $\operatorname {dim} V=\operatorname {dim} \operatorname {Im} T+\operatorname {dim} \operatorname {Ker} T$ berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntza

$f_{1}:V\rightarrow W$ eta $f_{2}:V\rightarrow W$ linealak badira, $f_{1}+f_{2}$ ere lineala izango da ($(f_{1}+f_{2})(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$).

$f:V\rightarrow W$ lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan, $(af)(x)=a(f(x))$ ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez, $f:V\rightarrow W$ transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

$f:V\rightarrow W$ eta $g:W\rightarrow Z$ linealak badira, orduan haien konposizio g∘f: V → Z ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

$f:V\rightarrow W$ transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapena

• Funtzional lineala: $T:V\rightarrow \mathbb {K}$ transformazio linealei (non $\mathbb {K}$ den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
• Monomorfismoa: $T:V\rightarrow W$ injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. $\operatorname {ker} (T)={0_{V}}$
• Epimorfismoa: Baldin eta $T:V\rightarrow W$ supraiektiboa bada.
• Isomorfismoa: Baldin eta $T:V\rightarrow W$ bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
• Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
• Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizea

Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta $\beta =\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ eta $\beta '=\{w_{1},w_{2},...,w_{m}\}$ V eta W-ren oinarriak. Hartu $f\in$ L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea $\beta$ eta $\beta '$ oinarriekiko, i. zutabean $f(v_{i})$ bektorearen $\beta '$ oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

$M_{\beta ,\beta '}(f)={\begin{pmatrix}|&|&...&|\\|&|&...&|\\f(v_{1})-en&f(v_{2})-ren&...&f(v_{n})-ren\\koordenatuak&koordenatuak&...&koordenatuak\\\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko&\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko&...&\{w_{1},w_{2},...w_{m}\}-rekiko\end{pmatrix}}$

hau da, $i\in \{1,...,n\}$ guztietarako, $f(v_{i})=\textstyle \sum _{k=1}^{m}\displaystyle a_{ki}w_{k}$ da.

Kanpo estekak

• Datuak: Q207643
• Multimedia: Linear operators