Aplikazio lineal

Matematiketan aplikazio lineala bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa

Aplikazio lineal,  funtzio lineal edo transformazio lineal esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein $T$ aplikaziori:

Bitez $K$ gorputzaren gainean eraikitako $V$eta $W$ bektore-espazioak. $T:V\to W$ aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako $\forall u,v\in V$ eta edozein eskalarrendako $\forall k\in K$ ondokoa betetzen bada:

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)\,$
2. $T(ku)=kT(u)\,$.

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

• $T(ku+k'v)=kT(u)+k'T(v)$.

Adibideak

1. Identitate aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:
   $${\begin{array}{cccl}T:&V&\to &V\\&x&\mapsto &T(x)=x\end{array}}$$
2. Homoteziak $n$-dimentsioko $\mathbb {K}$ gorputzean ere aplikazio linealak dira, non $k\in \mathbb {K}$ handitze ($k>1$) edo txikitze ($k<1$) konstantea baita:
   $${\begin{array}{cccl}T:&\mathbb {K} ^{n}&\to &\mathbb {K} ^{n}\\&x&\mapsto &T(x)=kx\end{array}}$$
   Demostrazioa: bitez $x,y\in \mathbb {K} ^{n},a,b\in \mathbb {K}$. Orduan $T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y)$.

Kanpo estekak

• Datuak: Q207643
• Multimedia: Linear operators