Artikulu hau Wikipedia guztiek izan beharreko artikuluen zerrendaren parte da

Aljebra lineal

Wikipedia, Entziklopedia askea

Hiru[Betiko hautsitako esteka] plano hauek ekuazio lineal baten soluzioa adierazten dute espazioan, hain zuzen, lerro urdina.

Aljebra lineala bektoreak, matrizeak, ekuazio linealen sistemak eta espazio bektorialak bezalako kontzeptuak aztertzen dituen matematikaren adar bat da.

Aljebra lineala funtsezkoa da matematikako ia arlo guztietan. Ingeniaritza zientzietako esparru gehienetan ere erabiltzen da, hainbat fenomeno natural modelatzeko.[1][2][3]

Oinarrizko kontzeptuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eragiketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi multzo bat. Orduan, multzoan eragiketa bat, moduan adierazten dena, ondorengoa betetzen duen arau bat da: , .

Taldea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez multzoa eta -ko eragiketa. taldea dela esaten da hurrengo hiru baldintzak betetzen direnean:

  1. Propietate elkarkorra betetzen bada, hau da, .
  2. Elementu neutroa existitzen bada, hau da, .
  3. multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira, hau da, . Kasu horretan, -ren alderantzizkoa deitzen zaio.

Gainera, propietate trukakorra betetzen bada, hau da, , orduan, talde abeldarra edo talde trukakorra deitzen da.

Eraztuna[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez multzoa eta gaineko bi eragiketa. Orduan, eraztuna dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1. talde abeldarra bada.
  2. propietate elkarkorra betetzen badu.
  3. Banatze-propietateak betetzen badira, hau da, eta .

Gorputza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez eremu bat ( zenbaki errealen, zenbaki osoen edo zenbaki arrunten multzoa izan ohi da, adibidez) eta eraztuna. Orduan, gorputza dela esaten da ondorengo propietateak betetzen badira:

  1. ez bada tribiala, hau da, -k elementu bat baino gehiago badu.
  2. identitateduna eta trukakorra bada.
  3. multzoko elementu guztiak alderantzikagarriak badira eragiketarekiko.

Espazio bektorialak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

XIX. mendera arte, aljebra lineala sistema linealen ekuazioekin eta matrizeekin adierazi zen. Matematika modernoan, espazio bektorialen bidezko adierazpena hobesten da orokorrean; izan ere, mota horretako adierazpena sintetikoagoa, orokorragoa eta kontzeptualki adierazteko errazagoa da, nahiz eta abstraktuagoa izan.[4]

Izan bitez gorputza eta multzoa. Orduan -espazio bektoriala dela esaten da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen badira:

  1. -n eragiketa bat definiturik badago, denotatzen dena, eta talde abeldarra bada.
  2. Banatze-propietateak betetzen badira bi eragiketekiko: eta eta .
  3. Biderketak propietate elkarkorra betetzen badu: eta .
  4. Biderketa eskalarrak elementu neutroa badu: .

-ko elementuak bektoreak deitzen dira eta -koak, aldiz, eskalarrak.

Aplikazio linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aplikazio linealak bektore-espazio egitura gordetzen duten espazio bektorialen arteko aplikazioak dira. Izan bitez eta bi -espazio bektorial, orduan aplikazio lineal bat izango da ondorengoa betetzen badu: eta . Horrek ondorengoa inplikatzen du: .

Aplikazio lineal baten nukleoa moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .

Aplikazio berdinaren irudia edo moduan adierazten da, eta ondorengo multzoa da: .

Aplikazio bat injektiboa izango da, baldin eta soilik baldin, bada, eta supraiektiboa da baldin eta .

Kontzeptu horiekin isomorfismoak definitu ditzakegu: aplikazio lineala isomorfismoa dela esaten da baldin eta bijektiboa bada, hau da, injektiboa eta supraiektiboa. deneko kasuan, isomorfismoari automorfismo deritzo.

Azpiespazioak eta oinarriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

-espazio bektorial baten azpiespazio lineala -ren azpimultzo bat da, deituko duguna, ondorengoa betetzen badu: eta , eta . ere -espazio bektoriala da.

-ren bi azpiespazioen batura honela definitzen da: . Batura hori zuzena dela esaten da bada, eta kasu horretan denotatuko litzateke.

Espazio bektorialak adierazteko, eta horiei buruzko informazioa barneratzeko, oinarriak ezinbestekoak dira. Oinarri bateko elementuekin espazio lineal baten elementu guztiak adieraz ditzakegu horien konbinazio linealen bidez, hau da, bektoreek espazio bektorialaren oinarria osatzen badute, edozein bektore moduan idatz daiteke, eskalarrak izanik. Baina azpiespazioaren oinarria izango da baldin eta ondorengo baldintzak betetzen baditu:

  1. -ren sistema sortzailea bada, hau da, -ko edozein bektore bektoreen konbinazio lineal moduan adieraz badaiteke. Kasu horretan multzoari deritzo, eta idazten da.
  2. sistema askea bada, hau da, izateak direla inplikatzen du.

espazio bektorial baten sistema sortzailea ( denotatzen dena) finitua bada, orduan finituki sortua dela esaten da, eta -k sortzen duen oinarriaren kardinalari -ren dimentsioa deritzo.

Matrizeak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Matrizeek dimentsio finituetako espazio bektorialak eta aplikazio linealak modu esplizituan manipulatzea ahalbidetzen dute. Gainera, aljebra linealean funtsezkoak dira. Matrizeak isomorfismo batean parte hartzen duten bi espazioen arteko oinarri batetik bestera pasatzeko erabiltzen dira gehien.

Izan bitez dimentsioko -espazio bektoriala eta -ren oinarri bat. Oinarriaren definizioagatik

aplikazioa espaziotik espaziorako bijekzio bat da.  Isomorfismo horrekin bektore bat bere aurreirudiaren bidez adieraz dezakegu, hau da, koordenatuen bidez.

Orain, izan bitez dimentsioko -espazio bektoriala eta -ren oinarri bat, orduan ondorengo aplikazioa, , -ren oinarriko elementuen gainean ondo definiturik dago, hau da, non balioetarako. Beraz, matrizearekin adieraz dezakegu.

Matrizeen biderkadurak bi aplikazioren arteko konposizio matrizea ematen du.

Sistema linealak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio linealetako sistema bat ekuazio eta ezezagunekin egindako sistema da. Matrizeak bezala, aljebra linealean funtsezkoak dira. Historikoki, aljebra lineala eta matrizeen teoria sistema ezberdinei soluzioak emateko garatuak izan dira. Gaur egungo aljebra linealean, problema ezberdinak espazio bektorialen eta matrizeen bitartez interpreta daitezke, ekuazio linealetako sistema bezala.[5][6][7][8][9]

Orokorrean ekuazio linealetako sistemak honela idazten dira:

non .

Ekuazio linealetako sistemak matrizialki adieraz daitezke, eta bezala denotatuko lirateke, non:

sistemaren matrizea den.

gai askeen matrizea den.

ezezagunen matrizea den.

sistemaren matrize hedatua den.

Izan bedi ekuazio linealetako sistema bat. matrizea sistemaren soluzioa dela esaten da baldin eta betetzen bada.

soluziorik ez badu sistema bateraezina deitzen da; eta beste kasuan bateragarria. Azkenengo kasuan:

  1. Sistemak soluzio bakarra badu, bateragarri determinatua deitzen da.
  2. Sistemak soluzio bat baino gehiago badu, bateragarri indeterminatua dela esaten dugu.

Adibidea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez ondorengo sistema lineala:

Lehenengo eta behin, har dezagun sistemaren matrizea:

eta gai askeen matrizea:

Deitu diezaiogun ezezagunen matrizea non den.

Orain, ezabaketa gaussiarra erabiliko dugu. Metodo hau errenkaden arteko eragiketetan oinarrituta dago, beraz, eragiketa hauek ez dute sistemaren soluzioa aldatzen.

Beraz, sistema honen soluzio bakarra da, hots, sistema hau sistema bateragarri determinatua da.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. Banerjee, Sudipto,. Linear algebra and matrix analysis for statistics. ISBN 978-1-4200-9538-8. PMC 875055780. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  2. Strang, Gilbert.. Linear algebra and its applications. (4th ed. argitaraldia) ISBN 0-03-010567-6. PMC 61231077. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  3. Weisstein, Eric. (2007-08-07). «Making MathWorld» The Mathematica Journal 10 (3) doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  4. Roman, Steven.. (2005). Advanced linear algebra. (2nd ed. argitaraldia) Springer ISBN 978-0-387-27474-4. PMC 262679871. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  5. Anton, Howard.. (1987). Elementary linear algebra. (5th ed. argitaraldia) Wiley ISBN 0-471-84819-0. PMC 13580207. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  6. Beauregard, Raymond A.. ([1973]). A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields. Houghton Mifflin ISBN 0-395-14017-X. PMC 600254. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  7. Burden, Richard L.,. Numerical analysis. (Fifth edition. argitaraldia) ISBN 0-534-93219-3. PMC 26546859. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  8. Golub, Gene H. (Gene Howard), 1932-2007.. (1996). Matrix computations. (3rd ed. argitaraldia) Johns Hopkins University Press ISBN 0-8018-5413-X. PMC 34515797. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.
  9. Harper, Charlie, 1931-. (1976). Introduction to mathematical physics. Prentice-Hall ISBN 0-13-487538-9. PMC 1622343. Noiz kontsultatua: 2020-11-15.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]