Atomo hidrogenoide

Atomo hidrogenoideak nukleo eta elektroi bakar batez osatutako atomo edo katioi atomikoak dira. Hidrogeno atomoarekiko isoelektronikoak direlako deitzen zaie horrela. Hori dela eta, hidrogenoaren antzeko portaera kimikoa izango duten atomoak dira. Hortaz, hidrogenoaren isotopoak atomo hidrogenoideak dira. Azken finean, horiek positiboki kargatutako nukleo batez eta balentzia elektroi batez osatuta daudelako. Atomo hidrogenoideen adibide oso ohikoak dira elektroi guztiak galdu arte ionizatu diren elementuak (esaterako, He⁺, Li²⁺, Be³⁺ eta B⁴⁺).

Helioa unibertsoan ohikoa denez, helio ionizatuaren espektroskopia indibiduala garrantzitsua da EUV (extreme ultra violet) astronomian, adibidez, DO izar nano zuriena.

Schrödingerren ekuazio ez-erlatibista eta Diracen ekuazio erlatibista hidrogeno atomorako analitikoki ebatzi daitezke, bi partikulen sistema fisikoaren sinpletasuna dela eta. Elektroi baten uhin-funtzioaren soluzioei hidrogenoaren antzeko orbital atomiko esaten zaie. Hidrogenoaren antzeko atomoak garrantzitsuak dira, dagozkien orbitalek hidrogenoaren orbital atomikoekin antzekotasuna dutelako.

Beste sistema batzuei hidrogenoaren antzeko atomoak ere dei dakieke, hala nola muonioa (elektroi bat antimuoi baten inguruan orbitatzen), positronioa (elektroi bat eta positroi bat), edo Rydbergen atomoak (elektroi bat energia-egoera altuan dago, eta gainerako atomoa karga puntual gisa ikusten du).

Partikula baten higidura eremu zentralean

Fisika klasikoaren ikuspuntutik, atomo hidrogenoideetan m_e masadun elektroia m_N masadun nukleoaren inguruan biratzen ari da. Nukleoaren masa elektroiarena baino askoz handiagoa denez (hidrogenorako, m_N/m_e = 1837), nukleoa geldi dagoela suposatu daiteke. Gainera, protoia eta elektroia alderantzizko zeinuko karga duten partikulak izanik, Coulomb legearen arabera, bi kargen arteko erakarpen elektrostatikoaren F indarra dela eta, bi partikula horien higidura elkarlotuta dago:

(1)

Non r elektroi-nukleo distantzia eta Ɛ₀ permitibitate elektrikoa hutsean diren (Ɛ₀ = 8,854 x 10^-12 C² N^-1 m^-2). Formulan kokatzen den minus zeinuak kargen arteko erakarpena adierazten du.

Bi kargen arteko erakarpen elektrostatikoaren energia potentzialaren ekuazioa ezaguna da: F(r) = -dV(r)/dr. Ekuazio hau integratuz hurrengoa lor daiteke:  

(2)

Non r = ∞ balioan V = 0 den, ez baitago indarrik partikulen artean. R-rekiko integrazioa burutuz, honako emaitza lortzen da:

(3)

Sistema honetan, elektroiak momentu angeluarra du, eta elektroiaren r posizio-bektorearen eta x ardatzaren arteko angelua φ bada, momentu angeluarra honela adieraz daiteke (1. Irudia):

1. irudia: Elektroi baten higidura nukleo baten inguruan

Kanpoko indarrik ez badago, momentu angeluarra kontserbatzen da, ostera, r nukleo-elektroi distantzia aldakorra da. Hori dela eta, hurrengo ekuazioa kontuan hartuz, r igotzen bada, dφ/dt abiadura angeluarra jaitsi behar da, eta alderantziz.

(4)

Sistemaren energia zinetikoa bi kontribuzioz osatuta dago: denborari buruzko r-ren eta φ-ren aldaketena:

(5)

Bigarren terminoa L momentu angeluarraren arabera jarriz:  

(6)

Bestalde, atomoaren energia osoa energia zinetiko eta energia potentzialaren batura da:

(7)

Era berean, momentu angeluarraren terminoa r-ren araberakoa denez, energia potentzialaren zati bat dela suposatu daiteke. Horrela, energia potentziala (Vef)definitzen da:

(8)

Atomoaren V_ef (r) funtzioa eta bere kontribuzioak 2. Irudian adierazten dira. Funtzio hori zentroa deritzon puntu batekiko distantziaren menpekoa denez, potentzial zentrala deritzo.

2. irudia: Energia potentzialaren kontribuzio elektrostatikoa, zentrifugoa eta bien batura atomo hidrogenoideetan

Alde batetik, momentu angeluarraren terminoa positiboa da. Zerorantz doa r distantzia igo ahala, eta oso altua da r-ren balio txikietarako. Termino hau sistemaren energia zentrifugoa da, elektroia nukleotik aldentzera behartzen duelako. Beste aldetik, V(r) = −α/r erakarpen elektrostatikoak balio negatiboak hartzen ditu, eta termino hau ere zerorantz doa r handietarako.

Bi funtzio horien konbinazioa V_ef (r) da, eta minimoa erakusten du r distantzia jakin baterako. Minimo hori dela eta, sistemaren energia E < 0 bada, elektroiak modu egonkorrean orbitatzen du nukleoaren inguruan, eta higidura finitua dela esaten da. Alderantziz, E > 0 bada, elektroia eta nukleoa ez daude lotuta eta aldendu egingo dira bata bestearekiko.

Schrödinger ekuazioa atomo hidrogenoide batentzat

Atomo hidrogenoide bat elektroi eta protoi batez eratuta dago. Oraingoz, spina baztertuko da adierazpen sinpleagoak lortzeko asmoz. Horrenbestez, Schrödinger ekuazioa denboraren menpean hurrengoa litzateke:  

(9)

Zeinetan ∇ eta Laplaziako eragileak ordezkatzen dituzte posizio-koordenatuei dagokienez protoia eta elektroia.

(10)

V (r) potentziala potentzial zentrala da, protoiaren eta elektroiaren arteko atrakzio elektrostatikoko energia adierazten baitu.

(11)

V (r) denboraren mende ez dagoenez, honela geratzen da ekuazioa:

(12)

non E sistemaren osoaren energia den. Horrela, 11. eta 12. ekuazioak 9. ekuazioan ordezkatuz, denborarekiko independentean den Schrödingerren ekuaziora lortzen da:

(13)

Espektroen eta orbital hidrogenoideen analisia

Schrödinger-en ekuazio erradialaren soluzioak R(r) funtzio erradialak dira. Funtzio horiek bi kuantu-zenbakiren arabera funtzio desberdina osatzen dute, n kuantu-zenbaki nagusia eta l momentu angeluarraren kuantu-zenbakiak, hain zuzen ere. Garrantzitsua da aipatzea l-ren balio maximoa n-ren balioak finkatzen duela:

l = 0, 1, 2, …, n -1

Atomo hidrogenoideetan, energia balioak m eta l kuantu-zenbakiekiko independenteak dira, potentzial zentralaren eta Coulombiarraren ezaugarri izanik.

Horren ondorioz, sistema horietako maila energetikoek nolabaiteko endekapena dute, hau da, n balio bakoitzerako n -1 balioa duten l balio posibleak daudela egiaztatu daiteke. 2l + 1 balio guztietarako m balioak daude. Hortaz, maila bakoitzaren endekapena hurrengoa da:  

(14)

Atomo hidrogenoidearen maila energetikoen diagrama aztertuz (3. irudia), hurrengoa ondorioztatu daiteke: loturiko egoerak direla eta, maila guztiek energia negatiboa dutela, eta n kuantu-zenbakiak gora egin ahala, mailen arteko banaketak behera egiten duela.

3. irudia: Atomo hidrogenoidearen maila energetikoen diagrama

Zero energia-balioa atomoaren ionizazio mugari dagokio, hau da, lotutako eta lotu gabeko egoeren arteko trantsizioari dagokio, non elektroia eta protoia ez dauden lotuta. Alde batetik, loturiko egoeretan energia kuantizatuta dago, eta espektro diskretua ikusten da. Bestetik,  lotu gabeko egoeretan energia ez dago kuantizatuta. Beraz, espektro jarraitua ikusten da.

Espina

Aurreko ataletan egindako tratamendu mekaniko-kuantikoa ez da osoa. Hamiltoniarrean sartzen ez diren hainbat termino gehigarriren ondorioz, espektroko lerroak banatu egiten dira, egitura fina osatuta. Hau justifikatzen saiatzeko hurrengo esperimentua egin zen.

1922an, Stern eta Gerlachek egindako esperimentuan, ikusi zuten esperimentua. bi zientzialari horiek ikusi zuten, zilarrezko atomo edo alkalino sorta bat eremu magnetiko ez-uniforme batetik igaroaraztean, bi sorta simetrikotan banatzen zela eremuaren norabidean.

Esperimentu hori ezin zen Mekanika Klasikoarekin azaldu: bikoizketak jarraituak eta simetrikoak izan behar zirelako sortaren jatorrizko norabidearekiko. Era berean, ezin zen orain arte garatutako mekanika kuantikoaren bidez azaldu, beharrezkoa baitzen une angeluarra zeroz bestelakoa izatea, eta hori ez zen atomo horien kasuan gertatzen.

Aurreko emaitza esperimentalak justifikatzeko, Uhlenbeck eta Goudsmitek 1925ean honakoa proposatu  zuten, orbitaren momentu angeluarraz gain: elektroiak une angeluar intrinsekoa du, espin momentu angeluarra izenekoa, edo, besterik gabe, espina. Batzuetan, elektroia bere ardatzaren inguruan biratzen duen esfera kargatua (ingelesez, "spin") dela kontuan hartuta justifikatzen da espina.

Hala ere, espinen une angeluarra ez dago askatasun espazialaren graduen mende. Espinak barruko askatasun maila du, eta ez du analogo klasikorik, kontzeptu mekaniko-kuantiko hutsa izanik. Modu naturalean sortu zen Diracen 1928k garatutako tratamendu mekaniko-kuantikotik.

Tratamendu horren konplexutasunaren ondorioz, 4. gaiko postulatuez gain, beste postulatu batzuen bidez sartu behar da mekanika kuantiko ez-erlatibista.

Espinaren tratamendu teorikoa

Espinaren momentu angeluarra ondorengo eragileekin dago erlazionatuta:  

(15)

Horiek ondorengo konmutazioa jarraitzen dute:

(16)

Ondorioz, elektroiak momentu magnetiko intrintseko bat daukala esan daiteke:

(17)

Bertan, g_e = 2, 0023 Landé faktorea edo elektroiaren ratio girodinamikoa deitzen da.  

Kommutazio-arauetatik (16) ondoriozta daitekeenez, S² eta S_z zenbakien autofuntzio komunek autobalioen ekuazio hauek betetzen dituzte:

(18)

Hau da, zenbatutako espinaren une angeluarraren modulua eta z osagaia. Funtsezko partikula orok espin espezifiko bat du, eta bosoi deritze espin osoa dutenei: s = 0, 1, 2...; eta fermioi espin erdi-osoa dutenei: s = 1/2, 3/2...

Bosoien adibideak: pioiak (s = 0) eta fotoiak (s = 1). Fermioien adibideak: elektroiak, protoiak eta neutroiak; guztiak s = 1/2 dutenak. Kasu honetan, (18) erlazioetatik, elektroirako:

(19)

Elektroiaren espinaren une magnetikoaren existentziak eta aurreko kuantizazioak espektroen egitura fina eta eremu magnetikoekiko interakzioa behar bezala azaltzea ahalbidetzen dute, Stern eta Gerlachen esperimentuan bezala.