← Aurreko ezberdintasuna Hurrengo ezberdintasuna →

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia

Lerroan

17:09, 21 azaroa 2018ko berrikusketa

Funtzio harmonikoa

Matematiketan, n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio baldin eta bi baldintza hauek betetzen baditu:

D-ren gainean lehengo eta bigarren ordenako deribatuak jarraituak izatea .
Laplace-ren ekuazioa betetzea.

Hau da,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

zeina $\nabla ^{2}f=0$ edo $\ \Delta f=0$ bezala idatzi ohi da.

Terminologia

"Funtzio harmoniko" terminoak ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, matematikaren bilakaera historikoarekin baizik.

Harmoniko terminoa mugimendu harmonikotik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritze. Mugimendu harmonikoaren ekuazio diferentzialaren soluzioa sinuen eta kosinuen funtzioekin idatz daiteke; horren ondorioz, funtzio trigonometriko horiei harmonikoak deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan (hau da, 2 dimentsiotan ez baizik 3tan), uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak harmoniko esferikoen funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoak funtzio harmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen dituztenez, baldintza horiek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.

Adibideak

Aldagai erreal batekin lan egiten bada, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinuen eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta aldagai konplexuekin lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hona hemen zenbait adibide:

Bi aldagaiko funtzio harmonikoak

Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
$R^{2}-{0}$ eremuan definituta dagoen $f(x,y)=ln(x^{2}+y^{2})^{1/2}$ funtzioa harmonikoa da.

Analisi konplexuarekiko loturak

(ikusi: analisi konplexua)

Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Horren ondorio zuzena da edozein funtzio holomorfok Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dituela. Egoera horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.

Funtzio harmonikoen propietateak

Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta daitezke.

Funtzio harmonikoen erregulartasunaren teorema

Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera, funtzio analitikoak dira.

Maximoaren printzipioa

Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:

Izan bitez $K$ $D$ -ren edozein azpimultzo trinko eta $f$ edozein funtzio harmoniko. Orduan, $f$ funtzioak bere maximo eta minimoak $K$ -ren mugan izango ditu.

Gainera, $D$ konexua bada, $f$ -k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, $f$ funtzio konstantea ez den bitartean.

Batez besteko aritmetikoaren teorema

Izan bitez $B(x,r)\subset D$ (zentroa $x$ puntuan eta erradioa $r$ luzerakoa dituen eta $D$ -n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa. Orduan, f(x) funtzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batezbestekotik abiatuta zehaztu daiteke:

$u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\oint _{\partial B(x,r)}u\,dS={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

non $\omega _{n}$ aldagaia unitate bateko erradioa daukan bolaren azalera den.

Liouville-ren teorema

Baldin eta f funtzio harmonikoa Rⁿ osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.

Orokortzeak

Funtzio harmonikoak gainazaletan

Funtzio harmonikoak zorizko Riemann-en gainazal batean defini daitezke, Laplace-Beltrami-ren eragilea Δ erabiliz. Testuinguru horretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: $\ \Delta f=0.$

Ikus, gainera

Laplace-ren ekuazioa

Beroaren ekuazioa

Erreferentziak

L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society

Kanpo loturak

@@ 2. lerroa: / 2. lerroa: @@
 = Funtzio harmonikoa =
-[[Matematika|Matematiketan]], n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio HONAKO bi baldintza HAUEK betetzen baditu:
+[[Matematika|Matematiketan]], n aldagaiko funtzio erreal bati D-rekiko funtzio harmonikoa deitzen zaio baldin eta bi baldintza hauek betetzen baditu:
 # D-ren gainean lehengo eta bigarren ordenako [[Deribatu|deribatua]]<nowiki/>k jarraituak izatea .
@@ 15. lerroa: / 15. lerroa: @@
 \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} = 0 </math>
-'''<u>Aurretik adierazitakoa ekuazioa (?)</u>''', <math>\nabla^2 f = 0</math> edo <math>\ \Delta f = 0</math> bezala idatzi ohi da.
+zeina <math>\nabla^2 f = 0</math> edo <math>\ \Delta f = 0</math> bezala idatzi ohi da.
 == Terminologia ==
-"Funtzio harmoniko" termino'''<u>a</u>''' ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin'''<u>,</u>''' lotura ho'''RR'''en jatorria matematikaren bilakaera historikoarekin lotuta dago.
+"Funtzio harmoniko" terminoak ez dauka zerikusirik "harmoniko" terminoaren esanahiarekin, matematikaren bilakaera historikoarekin baizik.
-Harmoniko terminoa [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritz'''<u>o</u>'''. Mugimendu '''<u>honen</u>''' ekuazio diferentzialaren'''<u>tzako</u>''' soluzioa [[sinu|sinuEN]] eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke'''<u>,</u> (puntu eta koma)''' horren ondorioz '''(koma)''' funtzio '''<u>hauei</u>''' (sinu'''ARI''' eta kosinuari'''<u>)"</u>'''harmonikoak" deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan, hau da '''(?)''', '''<u><s>2 ordez 3 dimentsioetako</s></u>''' '''(2 dimentsioko ez baizik 3ko)''' uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak'''<u>,</u>'''  [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoe'''<u>k,</u>''' funtzio harmonikoak definitzen dituzten bi baldintzak betetzen zituztela konturatu ziren '''(NOR?).''' Geroztik, baldintza '''<s>hauek</s>''' HORIEK betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
+''Harmoniko'' terminoa [[Mugimendu harmonikoa|mugimendu harmoniko]]<nowiki/>tik dator. Mugimendu harmonikoa atezuan dagoen soka batek egiten dituen mugimendu ondulatorioei deritze. Mugimendu harmonikoaren ekuazio diferentzialaren soluzioa [[sinu]]<nowiki/>en eta [[kosinu]]<nowiki/>en funtzioekin idatz daiteke; horren ondorioz, [[funtzio trigonometriko]] horiei harmonikoak deitzen zaie. Modu berdintsuan, baina dimentsio handiagoetan (hau da, 2 dimentsiotan ez baizik 3tan), uhin baten ekuazio diferentzialaren soluzioak  [[harmoniko esferiko]]<nowiki/>en funtzioak izango dira. Harmoniko esferikoak funtzio harmonikoek definitzen dituzten bi baldintzak betetzen dituztenez, baldintza horiek betetzen dituzten funtzio guztiei funtzio harmonikoak deitzen zaie.
 [[Fitxategi:Rotating spherical harmonics.gif|thumb|Harmoniko esferikoen irudikapena.]]
 == Adibideak ==
-[[Zenbaki erreal|Aldagai erreal]] batekin lan egiten '''<s>badugu</s> BADA''', Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinu'''EN''' eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta [[Zenbaki konplexu|aldagai konplexuekin]] lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. '''<s>Hemen</s>''' HONA HEMEN zenbait adibide '''<s>aurkezten</s>''' dira:
+[[Zenbaki erreal|Aldagai erreal]] batekin lan egiten bada, Laplaceren ekuazioaren emaitzak sinusoideak dira beti, hots, sinuen eta kosinuen arteko konbinazio linealak. Dimentsio handiagoetan eta [[Zenbaki konplexu|aldagai konplexuekin]] lan egiten dugunean emaitzak konplexuagoak izan daitezke. Hona hemen zenbait adibide:
 === Bi aldagaiko funtzio harmonikoak ===
-* Edozein [[Funtzio holomorfo|funtzio holomorforen]] parte erreal'''A''' eta '''PARTE''' irudikaria funtzio harmonikoak dira.
+* Edozein [[Funtzio holomorfo|funtzio holomorforen]] parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira.
 * <math>R^2-{0}</math> eremuan definituta dagoen <math>f(x,y)=ln(x^2 + y^2)^{1/2}</math> funtzioa harmonikoa da.
-=='''A'''nalisi konplexuare'''kiko loturak'''==
+==Analisi konplexuarekiko loturak==
 (ikusi: [[analisi konplexua]])
-Edozein funtzio holomorforen parte erreal'''A''' eta '''PARTE''' irudikaria funtzio harmonikoak dira. Ho'''RR'''en ondorio zuzena '''DA''' edozein funtzio holomorfok'''<s>,</s>''' [[Cauchy-Riemann-en ekuazioak]] betetzen dituela '''<s>da</s>'''. Egoera ho'''RR'''etan '''(koma)''' harmoniko konjokatuak direla esaten da.
+Edozein funtzio holomorforen parte erreala eta parte irudikaria funtzio harmonikoak dira. Horren ondorio zuzena da edozein funtzio holomorfok  [[Cauchy-Riemann-en ekuazioak]] betetzen dituela. Egoera horretan, harmoniko konjokatuak direla esaten da.
 == Funtzio harmonikoen propietateak ==
-Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta'''<s>tu</s>''' daitezke.
+Funtzio harmonikoen zenbait propietate garrantzitsu Laplaceren ekuaziotik ondoriozta daitezke.
-=== Funtzio harmonikoen erregulartasunAREN teorema ===
+=== Funtzio harmonikoen erregulartasunaren teorema ===
-Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera '''(koma)''' funtzio analitikoak dira.
+Funtzio harmonikoak infinituki deribagarriak dira. Gainera, funtzio analitikoak dira.
 === Maximoaren printzipioa ===
 Funtzio harmonikoek honako printzipioa betetzen dute:
-Izan bitez <math>K</math> <math>D</math>-ren  edozein azpimultzo trinko eta <math>f</math> edozein funtzio harmoniko. Orduan '''(KOMA)''' <math>f</math> funtzioak bere maximo eta minimoak <math>K</math>-ren mugan izango ditu.
+Izan bitez <math>K</math> <math>D</math>-ren  edozein azpimultzo trinko eta <math>f</math> edozein funtzio harmoniko. Orduan, <math>f</math> funtzioak bere maximo eta minimoak <math>K</math>-ren mugan izango ditu.
-Gainera '''(koma)''' <math>D</math> konexua bada, <math>f</math>-k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, <math>f</math> funtzio konstantea ez den bitartean.
+Gainera, <math>D</math> konexua bada, <math>f</math>-k ezin du maximo edo minimo lokalik eduki, <math>f</math> funtzio konstantea ez den bitartean.
 === Batez besteko aritmetikoaren teorema ===
-Izan bitez <math>B(x,r)\subset D</math>,hau da, zentroa <math>x</math>puntuan ETA erradioa <math>r</math>luzerakoa DITUEN eta <math>D</math>-n sartuta dagoen bola eta f funtzio harmonikoa (EZ DA ULERTZEN). Orduan '''(KOMA)''' f(x) '''<u>funtzioaren balioa bolaren zentroan,</u>''' f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen '''<u>batez bestekotik</u>''' abiatuta zehaztu '''<s>dezakegu</s> DAITEKE''':
+Izan bitez <math>B(x,r)\subset D</math> (zentroa <math>x</math>puntuan eta erradioa <math>r</math>luzerakoa dituen eta <math>D</math>-n sartuta dagoen bola) eta f funtzio harmonikoa. Orduan, f(x) funtzioak bolaren zentroan hartzen duen balioa, f-k bolaren gainazalean hartzen dituen balioen batezbestekotik abiatuta zehaztu daiteke:
 <math>
@@ 66. lerroa: / 60. lerroa: @@
 </math>
-non <math>\omega_n</math>unitate '''(?)''' bolaren azalera den.
+non <math>\omega_n</math>aldagaia unitate bateko erradioa daukan bolaren azalera den.
 === Liouville-ren teorema ===
 Baldin eta f funtzio harmonikoa '''R'''<sup>''n''</sup> osoan definituta eta bornatua badago, orduan funtzio konstantea da f.
@@ 73. lerroa: / 67. lerroa: @@
 === Funtzio harmonikoak gainazaletan ===
-Funtzio harmonikoak zorizko [[Riemannen gainazala|Riemann-en gainazal]] batean defini'''<s>tu</s>''' daitezke, [[Laplace-Beltrami-ren eragilea]] Δ erabiliz. Testuinguru ho'''RR'''etan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: <math>\ \Delta f = 0.</math>
+Funtzio harmonikoak zorizko [[Riemannen gainazala|Riemann-en gainazal]] batean defini daitezke, [[Laplace-Beltrami-ren eragilea]] Δ erabiliz. Testuinguru horretan, funtzio bat harmonikoa dela esan dezakegu baldin eta honako baldintza betetzen badu: <math>\ \Delta f = 0.</math>
 = Ikus, gainera =
 [[Laplace-ren ekuazioa|'''Laplace-ren ekuazioa''']]