Biderkadura bektorial

Biderketa bektoriala hiru dimentsioko bektore espazio batean definitzen den eragiketa bitarra da, $\times$ edo ∧ ikurrez adieraz daitekeena. Bi bektore harturik, haien norabidearekiko perpendikularra den bektorea du emaitza^[1], noranzkoa eskuin eskuaren arauaren araberakoa izanik. “Orientazioa” atalean, sakonkiago azalduko da arau honen esanahia.

Honela kalkulatzen da, determinante baten bidez:

$\mathbf {a\times b} =\mathbf {a\wedge b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

Kasu honeta, notazio aldetik, a_1, a₂ eta a₃ ${\vec {a}}$ bektorearen lehen, bigarren eta hirugarren osagaiak dira, hurrenez - hurren. Era berean, b₁, b₂ eta b₃ izango dira ${\vec {b}}$ bektorearen osagaiak.

Biderketa bektoriala espazio euklidearraren metrikaren eta orientazioaren araberakoa da. Horregatik, garrantzitsua da espazio euklidearra orientatua izatea.

Definizio matematikoa

Izan bedi $E$ hiru dimentsioko bektore-espazio euklidear orientatua. Orduan, biderketa bektoriala deritzo bektore-espazio horretako bi bektoreren gainean definitutako eragiketari, $\times$ ikurraz adierazia.^[2]^[3] $a$ eta $b$ bi bektore linealki independente badira, haien biderketa bektoriala $(a\times b)$ bi bektoreekiko perpendikularra den bektore bat da eta, beraz, $a$ eta $b$ bektoreek osatzen duten planoaren bektore normala da.

Biderketa bektoriala hainbat modutan orokortu daiteke, orientazioa eta egitura metrikoa kontuan hartuz. Beraz, $n$ dimentsioko $E$ espazio euklidear batean, $n-1$ bektore linealki independenteren biderketa bektoriala egiten bada, bektore guztiekiko perpendikularra den bektore berri bat lortzen da. Funtsean, biderketa bektoriala soilik defini daiteke $E$ espazio euklidearraren dimentsioa $n$ = 3 edo $n$ = 7 bada.^[4]

Hala ere, $n$ = 7 kasuan, biderketa bektorialak propietate arbuiagarriak ditu. Adibidez, ez du Jacobiren identitatea betetzen (aurrerago ikusiko dugu zein propietate den) eta, beraz, ez da erabiltzen.^[5]

Orientazioa

Bektore normalaren norabidea aukeratutako orientazioaren araberakoa da. Honek, eskuineko eskuaren arauak ematen du, non eskuineko eskuaren hatz erakuslea $a$ bektorearen norabidean dagoen, erdiko hatzak $b$ bektorearen norabidea erakusten duelarik. Orduan, bektore normalaren orientazioak bat egingo du erpuruaren orientazioarekin (erpuruak gora begiratzen badu, orientazio positiboa; eta negatiboa, bestela).

Arau horren arabera, biderketa bektorialaren zeinua aldatu egiten da bektoreak lekuz trukatzen direnean; hau da, $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$ . Horregatik, hatz erakuslea lehenik $b$ -rantz seinalatuz, eta ondoren erdiko hatza a-rantz orientatuz (funtsean, aurreko prozeduraren kontrakoa eginez), erpuruaren noranzkoa kontrakoa izango da.

Propietateak

Propietate aljebraikoak

Edozein a, b eta c espazio euklidearreko bektorerentzat, honako propietateak betetzen dira:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} \neq \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$ ; biderketa bektoriala ez da elkarkorra.
$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )$ ; bektoreak lekuz trukatzean, biderketaren zeinua aldatzen da.
$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0$ ; ortogonal izateagatik ezeztaketa: a eta a x b bektoreak elkar perpendikularrak direnez, biderketa eskalarraren propietateengatik, emaitza nulua da.
$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0}$ eta $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$ eta $\mathbf {b} \neq \mathbf {0}$ izanik $\Rightarrow \mathbf {a} \|\mathbf {b}$ ^[6]; bi bektore ez-nuluren biderkadura bektoriala zero bada, bektoreak paraleloak dira.
$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ ; propietate banakorra betetzen du.
$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ .
$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {0}$ ; Jacobiren identitatea betetzen du.
Eskalar bidezko biderketa. (12)
$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|$ ; biderketa bektorialaren moduluak bat egiten du bektore bakoitzaren moduluen eta haien arteko angeluaren sinuaren biderkadurarekin.
$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\left(\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)^{1/2}$ ; biderketa bektorialaren modulua kalkula daiteke biderketa eskalarra eta bektoreen moduluak kontuan hartuta soilik.
${\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}$ ; bektore unitarioa, a eta b barruan dituen planoari normala da.
$\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0}$ ; biderketa bektoriala nilpotentea da (8. propietatearen ondorio zuzena).
$\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )$ .

Gainera, biderketa bektoriala sasi-bektore ( ardatz-bektore) bat da. Horrek esan nahi du ohiko bektore baten antzeko portaera duela, baina eraldaketa euklidearrei dagozkien orientazioarekin loturiko arau batzuk ez dituela betetzen (errotazio, traslazio edo erreflexiotan).

Esanahi geometrikoa

Biderketa bektorialaren modulua $a$ eta $b$ aldeak dituen paralelogramoaren azalera gisa interpreta daiteke. Izan bedi $a$ eta $b$ luzerako aldeak dituen paralelogramo bat. Orduan, haren azalera a eta b bektoreen biderketa bektorialaren moduluaren berdina da, hau da:

$||a\times b||=||a||\cdot ||b||\cdot |sin~\theta |$ ^[7]^[8]

Bestalde, $a$ , $b$ eta $c$ luzerako aldeak dituen paralelepipedo baten bolumena kalkula daiteke biderketa bektoriala eta biderketa eskalarra uztartuz:

$a\cdot (b\times c)=b\cdot (c\times a)=c\cdot (a\times b)$

Biderkaduraren zeinua negatiboa izan daitekeenez, bolumena kalkulatzeko balio absolutu funtzioa erabiltzen da:

$V=|a\cdot (b\times c)|$

Oinarri ortonormalak eta biderketa bektoriala

Izan bedi $S=\{0:i,j,k\}$ erreferentzia sistema bat $\mathbb {R} ^{3}$ bektore espazioan. $S$ oinarri ortonormal destrogiroa (edo eskuinbirakaria) dela esango dugu, baldin eta honako baldintza hauek betetzen baditu:

$i\cdot j=j\cdot k=k\cdot i=0$ ; hau da, hiru bektoreak ortogonalak dira euren artean.
$|i|=|j|=|k|=1$ ; hau da, bektore unitarioak dira (eta, beraz, aurreko propietatea kontuan hartuta, ortonormalak dira).
$i\times j=k,j\times k=i,k\times i=j$ ; hau da, eskuin eskuaren araua betetzen dute.
$j\times i=-k,~~k\times j=-i,~~i\times k=-j$ ; bektoreen ordena aldatzen denean, emaitzaren zeinua aldatzen da.

Aplikazioak

Biderketa bektorialak hainbat testuingurutan ditu aplikazioak eta oso erabilgarria da. Adibidez, geometria konputazionalean, fisikan eta ingeniaritzan erabiltzen da. Jarraian, zenbait adibide aztertzen dira:

Geometria konputazionala

Geometria konputazionalean, biderketa bektorialak hiru dimentsioko espazioan plano berean ez dauden bi lerroren arteko distantzia kalkulatzeko balio du. Honekin batera, paralelogramo edo triangelu baten azalera kalkulatzeko ere balio du. Bestetik, triangelu edo poligono baten normala kalkulatzeko erabil daiteke, ordenagailu bidezko grafikoetan maiz egiten den eragiketa baita.

Planoaren geometria konputazionalean, biderketa bektoriala erabiltzen da, hiru puntu hartuta $p_{1}=(x_{1},y_{1})$ , $p_{2}=(x_{2},y_{2})$ , $p_{3}=(x_{3},y_{3})$ , bi puntu-bikotek $(p_{1},p_{2}),(p_{2},p_{3})$ definitutako bi bektoreen arteko angeluaren zeinua zehazteko. Zeinu hori bi bektoreen arteko biderketa bektorialaren norabideari dagokio (gorantz edo beherantz).

Gainera, bi bektoreen arteko angeluaren zeinua adierazpen honetako zeinuarekin bat dator: $P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})$ .

Biderketa bektoriala helburu horrekin erabiltzeko, nahikoa da 2D bektoreak $(p_{1},p_{2},p_{3})$ 3D bektore planokidetara hedatzea, horietako bakoitzerako $z\cdot k=0$ ( $z$ ardatza 0 duen planoa) ezarriz.

"Eskuineko" koordenatu-sistema erabiliz, emaitza 0 bada, puntuak lerrokideak dira;positiboa bada, hiru puntuek $p_{1}$ inguruko biraketa-angelu positiboa osatzen dute $p_{2}$ -tik $p_{3}$ -ra; bestela, hots, emaitza negatiboa bada, biraketa-angelu negatiboa izango da.

Beste ikuspuntu batetik, $P$ -ren zeinuak esaten digu ea $p_{3}$ puntua dagoen $p_{1}$ eta $p_{2}$ puntuek osatzen duten lerroaren eskuinean edo ezkerraldean.

Geometria konputazionalean ere, biderketa bektorialaren beste erabilpen bat poliedroen bolumena kalkulatzea da; bolumena kalkulatzeko, biderketa bektoriala erabil daiteke poliedroa tetraedrotan zatituz.

Laburbilduz, geometria konputazionalean biderketa bektoriala hainbat gauzatarako erabil daiteke:

Paralelogramo eta triangeluen bolumenen kalkuluan.
Perpendikulartasuna eta distantzia kalkulatzeko.
Normalen kalkuluan.
Orientazioa zehazteko.
2Dren kalkuluan: 2Dn, bektoreak 3Dtzat hartzen badira, z osagaia zerotzat hartuz.
Kolinealtasuna (edo lerrokidetasuna) aztertzeko.
Poliedroen bolumena kalkulatzeko.

Momentu angeluarra

Jatorri jakin batetik abiatutako partikula baten $L$ momentu angeluarra honela definitzen da:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ ;

non, ${\vec {r}}$ partikulak jatorriarekiko duen posizio-bektorea eta ${\vec {p}}$ partikularen momentu lineala diren. Momentu angeluarra ${\vec {r}}$ eta ${\vec {p}}$ bektoreen arteko biderketa bektoriala denez, $L$ bektorea $r$ -k eta $p$ -k sortutako planoarekiko perpendikularra da. Bere noranzkoa, eskuin eskuko arauarekin zehaztu daiteke.

Bestalde, momentu angeluarra sasi-bektore baten adibide argia da. Esate baterako, (x, y, z) koordenatu - sistematik (-x, -y, -z) koordenatu - sistemara pasatzen bagara, orduan ${\vec {r}}$ bektorea $-{\vec {r}}$ bilakatzen da, eta ${\vec {p}}$ bektorea, aldiz, $-{\vec {p}}$ . Alabaina, momentu angeluarra $(-{\vec {r}})\times (-{\vec {p}})={\vec {L}}$ berdin mantentzen da!

Lorentzen indarra

Mugimenduan dagoen karga elektriko batek pairatzen duen Lorentz indarra lortzeko erabiltzen da biderketa bektoriala.

$F=q_{e}(E+v\times B)$

non Lorentz indarra, $q_{e}$ mugimenduan dagoen partikularen karga elektrikoa, $E$ eremu elektrikoa, $v$ kargaren abiadura eta $B$ eremu magnetikoa diren.

Kasu honetan, B, eremu magnetikoa da sasi-bektorea.

Gorputz zurrunak

Biderketa bektoriala gorputz zurrunen higidura deskribatzeko erabili ohi da. Gorputz zurrun bateko edozein bi puntu, $P$ eta $Q$ , hurrengo adierazpenarekin erlazionatu daitezke:

$v_{p}-v_{q}=w\times (r_{p}-r_{q})$

non $r$ puntuen posizioa, $v$ puntu horien abiadura eta $w$ gorputz zurrunaren abiadura angeluarra diren. Egoera honetan, sasi-bektorea abiadura angeluarra izango litzateke, $w$ .

Beste batzuk

Kalkulu bektorialean, biderketa bektoriala eragile bektorial diferentziala definitzeko erabiltzen da.

Erreferentziak

↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Cross Product» mathworld.wolfram.com (kontsulta data: 2025-11-26).
↑ (Ingelesez) Acheson, David. (1990). Elementary Fluid Dynamics. ISBN 0198596790..
↑ (Ingelesez) Howison, Sam. (2005). Practical Applied Mathematics. ISBN 0521842743..
↑ Massey, W. S.. (1983-12). «Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces» The American Mathematical Monthly 90 (10): 697. doi:10.2307/2323537. (kontsulta data: 2025-11-26).
↑ (Ingelesez) Mathematical Methods for Physicists. Elvesier.
↑ (Ingelesez) «Cross Product» Math is Fun (kontsulta data: 2025-11-26).
↑ (Ingelesez) G. Zill, R. Cullen, Dennis, Michael. (2006). Advanced engineering mathematics. ISBN 0-7637-4591-X..
↑ Gibbs, J. Willard (1839-1903). ([c1929]). Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. New Haven: Yale University Press (kontsulta data: 2025-11-26).

Kanpo estekak

Datuak: Q178192
Multimedia: Cross product / Q178192

[1] (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Cross Product» mathworld.wolfram.com (kontsulta data: 2025-11-26).

[2] (Ingelesez) Acheson, David. (1990). Elementary Fluid Dynamics. ISBN 0198596790..

[3] (Ingelesez) Howison, Sam. (2005). Practical Applied Mathematics. ISBN 0521842743..

[4] Massey, W. S.. (1983-12). «Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces» The American Mathematical Monthly 90 (10): 697. doi:10.2307/2323537. (kontsulta data: 2025-11-26).

[5] (Ingelesez) Mathematical Methods for Physicists. Elvesier.

[6] (Ingelesez) «Cross Product» Math is Fun (kontsulta data: 2025-11-26).

[7] (Ingelesez) G. Zill, R. Cullen, Dennis, Michael. (2006). Advanced engineering mathematics. ISBN 0-7637-4591-X..

[8] Gibbs, J. Willard (1839-1903). ([c1929]). Vector analysis, a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs. New Haven: Yale University Press (kontsulta data: 2025-11-26).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]