Cantorren Argudio Diagonala

Georg Cantor, matematikaria. 1845-1918

Cantorren Argudio Diagonala, diagonalaren metodoa bezala ezagutzen dena baita ere, Georg Cantorrek gutxi gorabehera 1891. urtean frogatutako argudio edo frogapena izan zen. Argudio honen bitartez Cantorrek zenbaki errealen multzoa $\mathbb {R}$ ez zela zenbakigarria frogatu zuen.

Zenbaki errealak zenbatzeko edo zerrendatzeko ezintasunaren frogapen hau ez zen lehenengoa izan, baina sinpleena eta dotoreena izan zen. Geroago, frogapen honek beste zenbait frogapen inspiratu zituen.

Froga

$\mathbb {R}$ zenbakigarria ez dela frogatzeko nahikoa da frogatzen baldin badugu $[0,1]$ ez dela zenbakigarria. Horretarako, lehenago frogatuko dugu $[0,1]$ multzoaren eta $\mathbb {R}$-ren kardinalak berdinak direla, horrela $\mathbb {R}$ ez dela zenbakigarria frogatzeko.

$\mathbb {R}$ eta $[0,1]$-ren kardinalak berdinak dira

Hau frogatzeko, $\mathbb {R}$ eta $[0,1]$-ren arteko funtzio bijektibo bat bilatuko dugu, funtzio hau beste bi funtzioa¡ren osaketa izango da:

• Lehenengo $f(x)=\pi (x-\textstyle {\frac {1}{2}})$ funtzioa da, honek bijekzio bat ezartzen du $[0,1]$-ren eta $(\textstyle {\frac {-\pi }{2}},\textstyle {\frac {\pi }{2}})$-ren artean eta funtzio hau bijektiboa dela frogatzea oso erraza da.
• Bigarren funtzioa $f(x)=tg(x)$ da. Funtzio hau bijekzio bat da $(\textstyle {\frac {-\pi }{2}},\textstyle {\frac {\pi }{2}})$-ren eta $\mathbb {R}$-ren artean.

Osaketa eginez bijekzio bat aurkitu dugu $\mathbb {R}$ eta $[0,1]$-ren artean, beraz bi multzoek kardinal bera dute.

$\mathbb {R}$ ez da zenbakigarria, $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$ ($\mathbb {N}$=zenbaki arruntak)

Orain gure helburua $\mathbb {R}$-ren infinitua $\mathbb {N}$-rena baino handiagoa dela frogatzea da, horretarako ikusiko dugu azken honen kardinala $\mathbb {R}$-rena baino txikiagoa dela.

Frogapena

$|[0,1]|=|\mathbb {R} |$ dela ikusi dugu, beraz, frogatzen baldin badugu $|\mathbb {N} |<|[0,1]|$ dela, $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$ izango da. Horretarako, absurdura eramanez eta suposatuz $\mathbb {N}$ eta $[0,1]$ multzoen artean korrespondentzia bat dagoela, aurkituko dugu $[0,1]$ multzoaren elementu bat $\mathbb {N}$-rekiko korrespondentziarik ez duenik. Hau da, ikusiko dugu bi multzoen artean ez dagoela bana-banakako korrespondentzia bat.

Bi multzoen arteko bana-banakako korrespondentzia bat $[0,1]$ multzoko elementuak zerrendatzea izango litzateke. Egin dezagun zerrenda hori $[0,1]$ multzoko elementuei $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots ,$ deituz. Zenbaki arrunt bakoitzari $[0,1]$ multzoko zenbaki bat esleituko diogu.

$\mathbb {N}$		$[0,1]$
1	->	0,127849...
2	->	0,674822...
3	->	0,273643...
4	->	0,647851...
5	->	0,974697...

Orain $[0,1]$ multzoko zenbaki bat aurkituko dugu $\mathbb {N}$-ko zenbakirik esleituta ez duena. Horretarako zenbaki berri bat ($b$) sortuko dugu, $[0,1]$ multzoan egongo dena, beraz, gure zenbakia 0 batekin hasiko da eta haren dezimalak jadanik gure $[0,1]$ multzoko zenbakietatik lortuko ditugu. Gure zenbaki berriaren lehenengo dezimala 1 zenbaki arruntari esleitu zaion zenbaki errealaren lehen dezimala +1 izango da. Gure zenbaki berriaren bigarren dezimala bigarren zenbaki errealaren bigarren dezimalaren zenbakia +1 izango da. Dezimala 9 baldin bada gure zenbaki berriarena 0 izango da.

$b=0,28490...$ izango da

Horrela, lortu duguna izan da $b\in [0,1]$ sortzea eta zenbaki honek ez du korrespondentziarik zenbaki arruntekin, zenbaki berri hau $[0,1]$ multzoko beste zenbakien desberdina delako, behintzat zenbaki bat desberdina du, zehazki aldatu dugun dezimal bakoitzarena. Beraz, aurkitu dugunez $\mathbb {N}$-rekin korrespondentziarik ez duen $[0,1]$ multzoko zenbaki bat, hurrengoa dakigu:

$|\mathbb {N} |<|[0,1]|$ beraz, $\longrightarrow$ $|\mathbb {N} |<|\mathbb {R} |$ dela frogatu dugu

$\Box$

Kanpo estekak

• Gaussianos webgunea, La diagonalización de Cantor

• Datuak: Q729471