Beheren eta goren

Wikipedia(e)tik
Goren (matematika)» orritik birbideratua)
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
A zenbaki errealen multzoa (zirkulu berdez eta gorriz adierazita), S A-ren azpimultzo bat (zirkulu berdeak), eta S-ren beherena (infimum ingelesez) eta gorena (supremum ingelesez).

Matematikan, (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena, existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.

Gorena, existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
  • \sup(A \cup B)= \max\{\sup(A),\sup(B)\}, aipaturiko gorenak existitzen badira
  • \inf(S) = -\sup(-S) , non -S = \{ -s | s \in S \} den
  • Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
  • Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
  • Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Beherena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\inf\, \{1, 2, 3\} = 1.
\inf\, \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \}  =  0.
\inf\, \{ x \in \mathbb{Q} : x^3 > 2 \} = \sqrt[3]{2}.
\inf\, \{ (-1)^n + 1/n : n = 1, 2, 3, \dots \} = -1.

Gorena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • \sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 < x < 1 \}  =  \sup \{ x \in \mathbb{R} | 0 \leq x  \leq 1 \} = 1\,
  • \sup \{ x \in \mathbb{Q} | x^2 < 2 \} = \sqrt{2}\,
  • \sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \} = 1\,

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Supremum, mathworld.wolfram.com webgunean.
  • Infimum, mathworld.wolfram.com webgunean.