Hein

Aljebra linealean, matrize baten heina matrizeko elkarrekiko independenteak diren zutabe edo errenkaden kopurua da. Heina kalkulatzeko, matrizeko minoren determinantea kalkulatzen da. Determinante nulua ez duen minore handienaren ordena izango da matrizearen heina. Heina Gauss-Jordan algoritmoa erabiliz ere kalkula daiteke eta orduan 0 ez diren errenkada kopurua izango da. Besteak beste, heina ekuazio linealetako sistemak ebazteko erabiltzen da.

Ikus, gainera

• Wilcoxonen hein froga

Dimentsio finituko espazioak

Matrize baten heina

Matrize baten heina linealki independenteak diren zutabe (edo errenkada) kopuru maximoa da. Errenkaden eta zutabeen heina berdina da beti, eta zenbaki horri A-ren heina deritzo. rg(A) gisa adierazten da.

m errenkada eta n zutabeko A zutabe independenteen A-ren zutabe-espaizoaren berdina da. Era berean, errenkada-espazioaren dimentsioak maila zehazten du. A-ren heina, beraz, ez da zenbaki negatiboa izango, m eta n-ren arteko balio minimoaren berdina edo txikiagoa izango da.

$A\in Mm\times n\Rightarrow 0\leq rg(A)\leq min(m,n)$

Aplikazio lineal baten heina

Izan bitez V n dimentsioko bektore-espazioa, $\beta =\{v_{1},...,v_{n}\}$ V-ren oinarria eta $\{u_{1},...,u_{r}\}$ V-ren r bektoreetako sistema. Izan bedi A matrizea bere i. zutabean $u_{i}\in$ V bektorearen $\beta$ oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea. Orduan,

$rg(A)=dim\langle u_{1},...,u_{r}\rangle$

f aplikazioaren heina Im f azpiespazioaren dimentsioari deritzo eta rg f bidez adierazten da, hau da, $rgf=dim(Imf)$.

Heinaren kalkulua

Aplikazio lineal bat emanda, haren heina erraz kalkula daiteke edozein oinarri kontuan hartuta.

Matrize bat emanda, bere hein determinanteen kalkulutik determina daiteke. Determinante nulua ez duen minore handienaren ordena izango da matrizearen heina (A matrizearen azpimatrize karratu baten determinanteari minore deritzo eta minorearen ordena azpimatrizearen ordena da).

${\begin{vmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&\dots &a_{i_{1}j_{r}}\\\dots &\dots &\dots \\a_{i_{r}j_{1}}&\dots &a_{i_{r}j_{r}}\end{vmatrix}}\neq 0,\qquad {\begin{cases}1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{r}\leq n\\1\leq j_{1}<j_{2}<\dots <j_{r}\leq m\end{cases}}$

Matrize baten heina lortzeko beste modu bat Gauss-Jordan-en metodoa da, eta metodo honekin matrizearen errekada edo zutabe ez-nuluen kopuruaren berdina izango da.

Froga (errenkaden heina=zutabeen heina)

Izan bedi m x n tamainako A matrizea. Gainera, izan bedi A-ren zutabe-heina r eta $c_{1},...,c_{r}$ A-ren zutabe-espaziorako edozein oinarri. A-ren zutabe bakoitza C-ren r zutabeen konbinazio lineal gisa adieraz daiteke. Horrek esan nahi du r x n R matrize bat dagoela, $A=RC$ izanik. R matrizearen i. zutabea A-ren i. zutabea ematen duten koefizienteetatik lineal gisa. A-ren errenkada bakoitza ere R-ren r errenkaden konbinazio lineal batek ematen du. Beraz, R-ren errenkadek A-ren errenkadaren espazio sortzailea osatzen dute, eta, beraz, A-ren errenkadak ezin du r gainditu. Horrek frogatzen du A-ren errenkada-heina A-ren zutabe-heina baino txikiagoa edo berdina dela. Emaitza hori edozein matrizetan aplika daiteke, eta, beraz, A-ren matrize iraulian aplika daiteke. A-ren irauliaren eta A-ren heina berdina da. Izan ere, A-ren errenkadak A-ren irauliaren zutabeak dira, eta A-ren zutabeak, berriz, A-ren irauliaren errenkadak.

Matrizeen propietateak

• A matrizean bi zutabe (edo errenkada) elkarrekin trukatzen badira matrizearen heina ez da aldatzen.
• A matrizean zutabe (edo errenkada) baten ordez honen multiplo ez nulu bat jartzean, matrizearen hein ez da aldatzen.
• A matrizean zutabe (edo errenkada) baten ordez zutabe (edo errenkada) hori gehi beste ezberdin baten multiploa jartzean matrizearen heina ez da aldatzen.

Aplikazioak

Matrize baten heina kalkulatzeko aplikazio erabilgarria ekuazio linealen sistemaren soluzio kopurua zehaztea da, Rouché-Frobenius Teoremaren adierazpena. Sistemak soluzio bat du gutxienez matrizearen heina eta matrize hedatua/zabalduaren heina berdina denean.

Kanpo estekak

• Datuak: Q656784