Katearen erregela

Katearen erregela edo katearen araua, bi funtzioren konposizioaren deribatua lortzeko formula da. Kalkulu aljebraikoan deribatuen kalkulua egiteko erabilgarria da, funtzio konposatuak daudenean.

Arauaren deskribapena

Intuitiboki, y aldagaia badugu, eta bigarren u aldagai baten menpe badago (y=f(u)), aldi berean hirugarren aldagai x baten menpe dagoena (u=g(x)); y-ren x-rekiko aldaketa-tasa kalkula daiteke, y-ren u-rekiko aldaketa tasa eta u-ren x-rekiko aldaketa-tasaren biderkadura eginez.

Deskribapen aljebraikoa

Termino aljebraikoetan, katearen erregeak (aldagai bakarreko funtzioetarako) honakoa adierazten du: $f\,$ deribagarria baldin bada $x\,$aldagaiarekiko eta $g\,$ funtzioa deribagarria bada $f(x)\,$aldagaiarekiko, orduan $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ funtzio konposatua deribagarria da $x\,$aldagaiarekiko. Deribatuaren kalkulua honela egin daiteke:

$(g\circ f)'(x)={\frac {d(g\circ f)}{dx}}={\frac {d\;g(f(x))}{dx}}={\frac {d}{dx}}\;g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)$

Leibniz notazioa

Bestela, Leibniz notazioan, katearen araua honela adieraz daiteke:

${dg \over dx}={dg \over df}{df \over dx}$

non ${\frac {dg}{df}}$ adierazpenak dio deribatu hori egitean g funtzioa f-ren araberako aldagai askea balitz bezala aztertzen dela.

Goi ordenako deribatuak

Faà di Bruno formulek katearen araua goi mailako deribatuetara orokortzen dute. Hauetako batzuk hauek dira:

${\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}$

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}$

${\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}$

${\frac {d^{4}f}{dx^{4}}}={\frac {d^{4}f}{dg^{4}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{4}+6{\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left\{4{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}+3\left({\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}\right)^{2}\right\}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{4}g}{dx^{4}}}$

Ikus, gainera

• Deribatu

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en. (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Chain Rule" MathWorld-en.

• Datuak: Q207455