Aldagai (matematika)

Matematikan, Aldagaia (latinetik, variabilis, «aldagarria») zenbait zenbakizko balio har ditzakeen ikur edo gaia da, gehienetan letra baten bidez adierazten dena^[1]^[2]^[3]. Zehaztu gabeko zenbakizko balioak adierazteko edo problemaren ezezaguna adierazteko adierazpen matematikoetan agertzen dira aldagaiak; zenbait balio izan ditzakete, konstanteek ez bezala, konstanteek balio finkoa baitute.

Objektua, beharbada, ez da beti existitzen, edo zalantzazkoa izan liteke baliozko hautagairen bat existitzen bada. Adibidez, p eta q aldagaien bidez, bi zenbaki oso adieraz daiteke, eta p-ren karratuaren balioa q-ren karratuaren bikoitza izatea eska daiteke, notazio aljebraikoan $p 2 = 2 q 2$ idazten dena. p eta q zenbaki osoetara murriztuta daudenean erlazio hori betetzea ezinezkoa dela frogatzen duen behin betiko froga ez da begi-bistakoa, baina antzinatik ezagutzen da, eta, harrezkero, matematikan eragin handia izan du.

Jatorrian, aldagai terminoa, batez ere, funtzio baten argumenturako erabiltzen zen, eta, kasu horretan, bere balioa funtzioaren domeinuaren barruan aldatzen zela pentsa zitekeen. Hori da terminoa aukeratzeko motibazioa. Halaber, aldagaiak erabiltzen dira funtzioen balioak adierazteko, hala nola y = f(x) ekuazio eta ikur gisa, non x argumentua den eta f-k funtzioa bera adierazten duen.

Aldagai batek zehaztu gabeko zenbaki bat adieraz dezake, problema bat ebaztean finko geratzen dena; kasu horretan, askotan, parametro izena ematen zaio. Aldagai batek, halaber, zehaztu beharreko zenbaki ezezagun bat adieraz dezake; kasu horretan, ezezagun deritzo; adibidez, $ax 2 + bx + c = 0$ bigarren mailako ekuazioan, a, b, c aldagaiak parametroak dira, eta x ezezaguna.

Batzuetan, ikur bera erabil daiteke aldagai bat zein konstante bat adierazteko, hau da, ondo definitutako matematika-objektua. Adibidez, π letra grekoak, oro har, π zenbakia adierazten du, baina proiekzio bat adierazteko ere erabili izan da. Era berean, e letra sarritan erabili izan da Eulerren zenbakia adierazteko, baina laugarren mailako funtziotan eta goi mailako polinomioetarako esleitu gabeko koefiziente bat adierazteko ere erabili izan da. Are, 1 ikurra eremu arbitrario baten elementu neutro bat adierazteko erabili izan da. Bi nozio horiek ia berdin-berdin erabiltzen dira; beraz, esan beharra dago ikur jakin batek aldagai bat edo konstante bat adierazten ote duen^[4].

Askotan, aldagaiak erabiltzen dira matrizeak, funtzioak, haien argumentuak, multzoak eta haien elementuak, bektoreak, espazioak eta abar irudikatzeko^[5].

Logika matematikoan, aldagai bat teoriaren konstante zehaztu gabe bat adierazten duen ikur bat da, edo zeinari buruz kuantifikatzen ari den^[6]^[7]^[8].

Historia

Historia goiztiarra

Kantitate ezezagun baten lehenengo erabilerak, gutxienez, Antzinako Egiptora garamatza, Moskuko papiro matematikoarekin (K.a. 1500. urte inguruan), non ezezagunekin arazoak, erretorikoki, deskribatzen diren, «Aha problemak» deiturikoak. «Aha problemak» kantitate ezezagunak (aha, "pila" izenez deituak) –kantitatearen batura eta zati(ak) ematen badira– aurkitzean datza (Rhind papiro matematikoak baditu halako lau problema ere). Adibidez, 19. problemak eskatzen du kopuru bat bider 1 ¹⁄₂-ri gehituta 10 emango duen kopurua lortzea^[9]. Notazio matematiko modernoan: $3 / 2 x + 4 = 10$ . Ia garai berean, Mesopotamian, antzinako Babilonia garaiko matematikak (K.a. 2000 - K.a. 1500) aurreratuago zeuden, eta bigarren mailako ekuazio eta kubikoak ere aztertzen zituzten^[10].

Antzinako Greziako lanetan, hala nola Euklidesen Elementuak lanean (K.a. 300 inguruan), matematikak geometrikoki sailkatuta daude. Adibidez, Elementuak liburuan (II. liburukia, Euklidesen elementuekiko 1. proposizioa), Euklidesek hurrengo proposizioa aurkezten du: Bi lerro zuzen baldin badaude eta horietako bat edozein segmentu kopurutan mozten bada, bi lerro zuzenek duten laukizuzena da lerro zuzen moztu gabeak eta segmentu bakoitzak barne hartzen dituen laukizuzenen berdina.

Honek $a (b + c) = ab + ac$ (banakortasuna), identitate aljebraikoari dagokio, hala ere, osorik geometrikoki deskribatzen da. Euklidesek eta beste geometra greko batzuek letra bakunak ere erabiltzen zituzten puntu eta forma geometrikoei erreferentzia egiteko. Aljebra mota honi, batzuetan, aljebra geometriko grekoa deitzen zaio gaur egun^[10].

Diofanto Alexandriakoa^[11], aljebra sinkopatuaren forma baten aitzindaria izan zen bere Aritmetika liburuan (K.o. 200), ezezagun eta berreturen adierazpenen manipulazio sinbolikoa sartu zuena, baina erlazioen (berdintza- desberdintza) ikur modernorik eta berreketarik gabe^[12]. Zenbaki ezezagun bat $\zeta$ .^[13] zen; $\zeta$ ren karratua $\Delta ^{v}$ zen; kuboa $K^{v}$ zen; laugarren berretua $\Delta ^{v}\Delta$ zen; eta bosgarren berretua $\Delta K^{v}$ ^[14]. Beraz, adibidez, notazio modernoan honela

x^{3}-2x^{2}+10x-1,

idatziko litzatekeena

Diofantoren idazkera sinkopatuan, honela idatziko litzateke:

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

K.a. VII. mendean, Brahmaguptak kolore desberdinak erabili zituen ekuazio aljebraikoetan ezezagunak Brāhmasphuṭasiddhāntan irudikatzeko. Liburu horretako atal batek «Hainbat koloreren ekuazioak» du izenburutzat^[15]. Greziar eta beste antzinako matematika aurrerapen batzuk, askotan, geldialdi luzeetan harrapatuta geratu ziren, eta, beraz, notazioan, iraultza gutxi izan ziren, baina hori aldatzen hasi zen garai moderno goiztiarrean.

Aro Moderno goiztiarra

XVI. mendearen amaieran, François Viètek sartu zuen zenbaki ezagunak eta ezezagunak letren bidez irudikatzeko (gaur egun aldagai deritzenak) eta, horiekin, zenbakiak izango balira bezala konputatzearen ideia, ordezkapen soil baten bidez emaitza lortzeko asmoz. Vièteren konbentzioa zen kontsonanteak erabiltzea balio ezagunetarako eta bokalak ezezagunetarako^[16].

1637an, René Descartesek asmatu zuen ekuazioetan ezezagunak x, y eta z-ren bidez eta ezagunak a, b eta c-ren bidez irudikatzeko konbentzioa^[17]. Vièteren konbentzioaren kontrara, Descartesena, oraindik ere, askotan erabiltzen da. Matematikan x letraren historia 1887ko Scientific Americaneko artikulu batean eztabaidatu zen^[18].

1660ko hamarkadan hasita, Isaac Newtonek eta Gottfried Wilhelm Leibnizek, bakoitzak bere aldetik, kalkulu infinitesimala garatu zuten, zeinak, funtsean, aztertzen duen denboran aldatzen den kantitate baten aldaketa infinitesimal batek, fluxu (fluent ingelesez) deritzonak, lehen aldagaiaren funtzio den beste kantitate bati dagokion aldaketan nola eragiten duen. Ia mende bat geroago, Leonhard Eulerrek kalkulu infinitesimalaren terminologia finkatu zuen, eta $y = f (x)$ notazioa sartu zuen $f$ funtzio baterako, haren $x$ aldagaia eta baita $y$ balioa ere. XIX. mendearen amaierara arte, aldagai hitzak argumentuei eta funtzioen balioei egiten zien erreferentzia ia esklusiboki.

XIX. mendearen bigarren erdian ikusi zen kalkulu infinitesimalaren oinarria ez zegoela nahikoa formalizatuta itxurazko paradoxei aurre egiteko, hala nola inon diferentziagarria den funtzio jarraitu bati. Arazo hori konpontzeko, Karl Weierstrassek formalismo berri bat sartu zuen, limitearen nozio intuitibo bat definizio formal batez ordezkatzean zetzana. Limitearen nozio zaharra zen: « $x$ aldagaia aldatzen denean eta $a$ -rantz jotzen duenean, orduan, $f (x)$ -k $L$ -rantz jotzen du joeraren definizio zehatzik gabe». Weierstrassek esaldi hori formula honengatik ordezkatu zuen:

(\forall \epsilon >0)(\exists \eta >0)(\forall x)\;|x-a|<\eta

\;\Rightarrow |L-f(x)|<\epsilon ,

non bost aldagaietako bat bera ere ez den aldagarritzat jotzen.

Formulazio estatiko horrek aldagaiaren nozio modernoa ekarri zuen, ezezaguna den objektu matematiko bat irudikatzen duen ikur bat besterik ez dena edo multzo jakin bateko edozein elementuk ordezka dezakeena (adibidez, zenbaki errealen multzoak).

Aldagai askeak eta menpekoak

Aldagaiak sailkatu daitezke menpeko aldagaietan eta aldagai askeetan. Menpeko aldagaiak dira aldatzen direnak, sistemaren beste balioen ondorioz. Aldagai askeak dira sistemaren sarreratzat (inputs) hartzen direnak eta balioak har ditzakete askatasunez.

Erreferentziak

↑ Sobolev, S.K. (originator). «Individual variable» Encyclopedia of Mathematics. Springer ISBN 1402006098. (kontsulta data: 2024-09-05).
↑ Beckenbach, Edwin F. (1982). College algebra. (5.. argitaraldia) Wadsworth ISBN 0-534-01007-5.
Aipua: «Aldagai bat multzo jakin bateko elementu zehaztugabe bat adierazten duen sinboloa da..».
↑ Landin, Joseph. (1989). An Introduction to Algebraic Structures. New York: Dover Publications, 204 or. ISBN 0-486-65940-2.
Aipua: «Aldagai bat konstanteentzako lekua betetzen duen sinboloa da.».
↑ «ISO 80000-2:2019» Quantities and units, Part 2: Mathematics (International Organization for Standardization) jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2024-10-07) (kontsulta data: 2019-09-15).
↑ Stover & Weisstein.
↑ van Dalen, Dirk. (2008). Logic and Structure. (4th. argitaraldia) Springer-Verlag, 57 or. doi:10.1007/978-3-540-85108-0. ISBN 978-3-540-20879-2..
↑ Feys, Robert; Fitch, Frederic Brenton. (1969). Dictionary of symbols of mathematical logic. Amsterdam: North-Holland Pub. Co.
↑ Shapiro, Stewart; Kouri Kissel, Teresa. (2024). Zalta, Edward N. ed. Classical Logic. (Spring 2024. argitaraldia) Metaphysics Research Lab, Stanford University (kontsulta data: 2024-09-01).
↑ Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
1 2 Boyer, Carl B. (Carl Benjamin). (1991). A History of Mathematics. New York: Wiley ISBN 978-0-471-54397-8..
↑ Diophantine Equations. Submitted by: Aaron Zerhusen, Chris Rakes, & Shasta Meece. MA 330-002. Dr. Carl Eberhart. 16 February 1999.
↑ Boyer (1991). "Revival and Decline of Greek Mathematics". p. 178. "The chief difference between Diophantine syncopation and the modern algebraic notation is the lack of special symbols for operations and relations, as well as of the exponential notation."
↑ A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg 456
↑ A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg 458
↑ (Tabak 2014).
↑ (Fraleigh 1989).
↑ (Sorell 2000).
↑ (Ingelesez) Scientific American. Munn & Company 1887-09-03, 148 or..

Bibliografia

Edwards, Joseph. (1892). An Elementary Treatise on the Differential Calculus. (2.. argitaraldia) London: MacMillan and Co..
Foerster, Paul A.. (2006). Algebra and Trigonometry: Functions and Applications. (classics. argitaraldia) Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall ISBN 978-0-13-165711-3..
Fraleigh, John B.. (1989). A First Course in Abstract Algebra. (4.. argitaraldia) United States: Addison-Wesley ISBN 978-0-201-52821-3..
Hosch, William L., ed. The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Britannica Educational Publishing ISBN 978-1-61530-219-2..
Menger, Karl. (1954). «On Variables in Mathematics and in Natural Science» The British Journal for the Philosophy of Science (University of Chicago Press) 5 (18): 134–142. doi:10.1093/bjps/V.18.134..
Peregrin, Jaroslav. (2000). «Variables in Natural Language: Where do they come from?» Variable-Free Semantics. Osnabrück Secolo, 46–65 or. ISBN 978-3-929979-53-4..
Quine, Willard V.. (1960). «Variables Explained Away» Proceedings of the American Philosophical Society (American Philosophical Society) 104 (3): 343–347..
Sorell, Tom. (2000). Descartes: A Very Short Introduction. New York: Oxford University Press ISBN 978-0-19-285409-4..
Stover, Christopher; Weisstein, Eric W.. Weisstein, Eric W. ed. Variable. Wolfram Research (kontsulta data: 2021-11-22).
Tabak, John. (2014). Algebra: Sets, Symbols, and the Language of Thought. Infobase Publishing ISBN 978-0-8160-6875-3..

Kanpo estekak

Datuak: Q50701

[1] Sobolev, S.K. (originator). «Individual variable» Encyclopedia of Mathematics. Springer ISBN 1402006098. (kontsulta data: 2024-09-05).

[2] Beckenbach, Edwin F. (1982). College algebra. (5.. argitaraldia) Wadsworth ISBN 0-534-01007-5.
Aipua: «Aldagai bat multzo jakin bateko elementu zehaztugabe bat adierazten duen sinboloa da..».

[3] Landin, Joseph. (1989). An Introduction to Algebraic Structures. New York: Dover Publications, 204 or. ISBN 0-486-65940-2.
Aipua: «Aldagai bat konstanteentzako lekua betetzen duen sinboloa da.».

[80000-2:2019-4] «ISO 80000-2:2019» Quantities and units, Part 2: Mathematics (International Organization for Standardization) jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2024-10-07) (kontsulta data: 2019-09-15).

[5] Stover & Weisstein.

[6] van Dalen, Dirk. (2008). Logic and Structure. (4th. argitaraldia) Springer-Verlag, 57 or. doi:10.1007/978-3-540-85108-0. ISBN 978-3-540-20879-2..

[7] Feys, Robert; Fitch, Frederic Brenton. (1969). Dictionary of symbols of mathematical logic. Amsterdam: North-Holland Pub. Co.

[8] Shapiro, Stewart; Kouri Kissel, Teresa. (2024). Zalta, Edward N. ed. Classical Logic. (Spring 2024. argitaraldia) Metaphysics Research Lab, Stanford University (kontsulta data: 2024-09-01).

[Clagett-9] Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5

[:0-10] 1 2 Boyer, Carl B. (Carl Benjamin). (1991). A History of Mathematics. New York: Wiley ISBN 978-0-471-54397-8..

[11] Diophantine Equations. Submitted by: Aaron Zerhusen, Chris Rakes, & Shasta Meece. MA 330-002. Dr. Carl Eberhart. 16 February 1999.

[Boyer2-12] Boyer (1991). "Revival and Decline of Greek Mathematics". p. 178. "The chief difference between Diophantine syncopation and the modern algebraic notation is the lack of special symbols for operations and relations, as well as of the exponential notation."

[13] A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg 456

[14] A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus. By Sir Thomas Little Heath. Pg 458

[15] (Tabak 2014).

[16] (Fraleigh 1989).

[17] (Sorell 2000).

[18] (Ingelesez) Scientific American. Munn & Company 1887-09-03, 148 or..

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]