Minkowskiren desberdintza

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, Lp espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g Lp(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere Lp(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira, \lambda ≥ 0 baten baterako f = \lambda g edo g = \lambda f dela esan nahi duena.

Minkowskiren desberdintza Lp(S)-ko desberdintza triangeluarra da.

Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x1, ..., xn, y1, ..., yn guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,

|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)

Alabaina, hor erabiltzen da h(x)=x^p funtzio ganbila izatea \mathbb{R}^+ multzoan (p > 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,

\left(\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b\right)^p \le \frac{1}{2}a^p + \frac{1}{2} b^p

Beraz,

(a+b)^p \le 2^{p-1}a^p + 2^{p-1}b^p

Orain, (\|f + g\|_p) adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun (\|f + g\|_p) ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz

\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
 \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}
= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}

Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p} egitean.