Zenbaki kardinal

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Zenbaki arruntak $\mathbb {N}$ Zenbaki osoak $\mathbb {Z}$ Zenbaki arrazionalak $\mathbb {Q}$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak $\mathbb {R}$ Zenbaki konplexuak $\mathbb {C}$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak $\mathbb {H}$ Oktonioiak $\mathbb {O}$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki kardinala multzo bat osatzen duten elementu kantitatea adierazten duen zenbakia da, kantitate hori finitua edo infinitua izanda. Izan bedi A multzoa. A multzoa finitua dela esango dugu A = ∅ bada edo existitzen bada n ∈ N zeinentzako A multzoa eta {1,...,n} multzoa ekipotenteak diren. Multzo hutsaren kardinala 0 dela diogu, eta bestelako kasuan, n horri A-ren kardinala esaten zaio, eta a |A| = Card(A) = n gisa adieraziko dugu.

A multzo infinitua dela diogu finitua ez bada.

Historia

Zenbaki kardinalaren kontzeptua George Cantorrek proposatu eta aurrera eraman zuen, 1874an.

Handitu zuen zenbaki infinituetara ez soilik finituetara.

Cantorrek definitu zuen hau, esanez bi multzo finitu kardinal berdina (ekipotenteak) zutela haien elementuen arteko bijekzio bat existitzen bada.

Zenbaki naturalen kardinala izendatu zuen: ℕ: Álef 0

Kardinalaren propietate batzuk

• A eta B bi multzo finitu eta disjuntoak baldin badira ($A\cap B=\emptyset$), orduan bi multzo horien bilduraren kardinala horrela kalkula daiteke: $Card(A\cup B)=Card(A)+Card(B)$
• A multzoa finitua eta$B\subsetneq A$ azpimultzo propioa baldin bada, orduan B ere finitua izango da eta $Card(B)<Card(A)$
• A eta B bi multzo finitu badira, $Card(A\times B)=Card(A)Card(B)$

Lehenengoa printzipio batukorraren formarik sinpleena da. Izan ere, honek hurrengoa dio:

$A_{1},A_{2},...,A_{n}$ binaka disjuntoak baldin badira $(A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ $i\neq j$ $guztietarako$ $i,j=1,...,n)$, orduan multzo guztien bilduraren kardinala multzo bakoitzaren kardinalaren batura izango da: $Card(A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})=Card(A_{1})+Card(A_{2})+...+Card(A_{n})$

Garrantzitsua da multzoak binaka disjuntoak izatea. Adibidez, $A_{1}=\{1,2\}$, $A_{2}=\{2,3\}$ eta $A_{3}=\{3,4,1\}$ -ren kasuan, multzo guztien ebakidura hutsa da $(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}=\emptyset )$, baina binaka ez dira hutsak $(A_{1}\cap A_{2}=\{2\}$ , $A_{2}\cap A_{3}=\{3\}$ eta $A_{1}\cap A_{3}=\{1\})$. Beraz, $Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})$ ez da izango $Card(A_{1})+Card(A_{2})+Card(A_{3})=2+2+2=6$, baizik eta

$Card(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})=Card(\{1,2,3,4\})=4$

Izan ere, orokorrean, A eta B bi multzo finitu direnean inklusio-esklusioaren printzipioa betetzen da:

$Card(A\cup B)=Card(A)+Card(B)-Card(A\cap B)$

Multzo baten kardinalaren kalkuluaren adibideak

Multzo finituak

A = {2,4,5} kardinal multzo finitua 3 da. Hutsala da funtzio hori injektiboa dela frogatzea: f: {2,4,5} → {1,2,3}:

$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{x = 2 }}{\text{bada}}\\2,&{\text{x = 4 }}{\text{bada}}\\3,&{\text{x = 5 }}{\text{bada}}\end{cases}}$

Multzo infinituak

Zenbaki naturalak

$P=\{{x\in \mathbb {N} {\text{ non x bikoitia da}}}\}$ multzo infinituaren kardinala zenbaki bikoitiez osatuta $\aleph _{0}$ da. Hori frogatzeko, nahikoa da funtzioak definitzea:

$f$  : $P\longrightarrow \mathbb {N}$ $g$  : $\mathbb {N} \longrightarrow P$

$x\mapsto y=f(x)={\tfrac {x}{2}}$ $x\mapsto y=g(x)=2x$

Bien injektibotasuna frogatuz, ondorioztatzen dugu f bijektiboa dela. Multzoaren kardinaltasuna $\aleph _{0}$ da. Hau frogapena amaitzen da. Emaitza honek intuizioaren kontrakoa irudi dezakeen arren, pareak baino naturalagoak direla pentsa baitaiteke (adibidez, 1) naturala delako eta ez dagoelako pareetan sartuta, multzo horiek ekiahaltsuak direla frogatzen dugu.

Zenbaki arrunten pare ordenatuen (edo, eskuarki, n-tuploen) multzoak $\aleph _{0}$ kardinal bat du. Hau zenbaki pareak diagonalaren aurka zenbakituz froga daiteke. $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ naturalen azpimultzo infinitu batek duen kardinal bera duela frogatzeko beste modu bat da:

$g$ : ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }\longrightarrow \mathbb {N}$

$x,y\mapsto z=g(x,y)=3^{x}\cdot 2^{y}$

3 eta 2 zenbaki lehenak direnez, x pare bakoitzerako, eta zenbaki desberdina lortuko dugu. Orduan $g$ injektiboa da eta $card({\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} })\leq card(\mathbb {N} )$.

Zenbaki arrazionalak

$\mathbb {Q}$ zenbaki arrazionalen multzoak $\aleph _{0}$-ren pareko kardinala du. Emaitza horrek intuizioari aurre egiten dio, alde batetik, arrazionalen multzoa "trinkoa" delako $\mathbb {R}$-n, zeinak $2^{\displaystyle \aleph _{0}}$ kardinala baitu. Izan ere, zenbaki errealen topologia pixka bat aztertuz gero, bi zenbaki errealen artean zenbaki arrazional bat dago beti, eta bi arrazionalen artean beti dago erreal irrazional bat. Horrek ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ eta ${\displaystyle \mathbb {R} }$ elementu kopuruaren arabera alderagarriak direla pentsaraz lezake, baina ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}$-k $\mathbb {N}$ adina elementu baino ez ditu, eta ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {R} }}$ elementuen kopurua ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}$-ren elementu kopurua baino askoz ere handiagoa da.

${\displaystyle \mathbb {Q} }$ multzoa zenbakigarria dela eta, beraz, naturalek duten kardinal bera duela egiaztatzeko, ikus dezakegu $i_{\displaystyle \mathbb {Q} }$ funtzio injektibo bat dagoela. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zenbaki arrazional bat r/s-ren berdina bada, bi zenbaki lehenen arteko erlatiboak izanik, orduan definitzen dugu:

${\displaystyle i_{\displaystyle \mathbb {Q} }}$ : ${\displaystyle {\displaystyle \mathbb {Q} }}\longrightarrow \mathbb {N} \times \mathbb {N}$

$q$ $\mapsto$ ${\displaystyle {\displaystyle i_{\displaystyle \mathbb {Q} }}}(q)=(r,s)$ $[mcd(r,s)=1]$

Horrek erakusten du $card(\mathbb {Q} )\leq card(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )$, eta $card(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )=card(\mathbb {N} )$ eta naturalak arrazionalen multzo baten parekoak direnez, desberdintasunen katea dugula:

$card(\mathbb {N} )\leq card(\mathbb {Q} )\leq card(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )\leq card(\mathbb {N} )$

Beraz:

$card(\mathbb {Q} )=card(\mathbb {N} )$

Kardinalen aritmetika

$\scriptstyle {\mathcal {A}}$ eta ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ multzoak, $\scriptstyle A$ eta $\scriptstyle B$ kardinalekin, batuketaren printzipioa eta produktuaren printzipioa definitzen dira, kardinalak batu eta biderkatzeko:

$A+B=|{\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}|$ , $A\cdot B=|{\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}|$

Bi multzoak finituak direnean, kardinalen aritmetika zenbaki arrunten aritmetikara mugatzen da. Hala ere, bi multzoetako bat infinitua denean, zenbaki arrunten aritmetikaren hedadura sendoa izaten da. Kardinal transfinituen artean erlazio aritmetiko interesgarri batzuk daude:

• Bi multzoren batasunaren kardinala bat dator kardinal handienarekin: $A+B=\max(A,B)$
• Bi multzotako produktu kartesiarraren kardinala kardinal handienekoa da: $A\cdot B=\max(A,B)$

Kardinalen esponentziazioa bi ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ eta ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ multzoen arteko funtzio-multzotik abiatuta definitzen da:

$\mathrm {A} ^{\mathrm {B} }=|\{f:{\mathcal {B}}\longrightarrow {\mathcal {A}}\}|=|{\mathcal {A}}{\mathcal {^{B}}}|$

Aurreko definizioekin, berehala egiaztatu behar da:

$\overbrace {A+\cdots +A} ^{n}=n\cdot A$ , $\overbrace {A\cdot \cdots \cdot A} ^{n}=\mathrm {A} ^{n}$

Kanpo estekak

• Datuak: Q163875
• Multimedia: Cardinal numbers