Alderantzizko elementu

Aljebran, multzoan definitutako eragiketa biderketa denean, alderantzizko elementua elementu baten simetrikoa da; $a \,$ elementuaren alderantzizko elementua $a^{-1} \,$ da hau betetzen badu:

$a \cdot a^{-1}=a^{-1} \cdot a=e$

$e \,$ multzoaren elementu neutroa izanik (alegia, 1) eta $a^{-1}= \frac{1}{a}$.

Adibideak

• $2 \,$ zenbakiaren alderantzizkoa zenbaki arrazionalen multzoan $\frac{1}{2} \,$ edo 0,5 da.
• i zenbaki irudikariaren alderantzizkoa -i da, zeren i·(-i)=1 baita.
• f funtzio baten alderantzizkoa, bijektiboa bada, g funtzioa da, f·g = g·f = I bada, non I identitate funtzioa den.

Eragiketa batuketa denean, aurkako elementu izena ematen zaio.

Elementu simetrikoa

Aljebra abstraktuan, $A \,$ multzo batean $\circ$ eragiketa definiturik badago, honela adierazita: $( A , \circ ) \,$, $\circ$ eragiketa $A \,$ multzoko barne-eragiketa izanda:

$\forall a, b \in A : \quad a \circ b \in A$

eta $e \,$ elementu neutroa badago,

$\forall a \in A , \quad \exists e \in A : \quad a \circ e = e \circ a = a$

Esaten da $a \in A$ elementuak daukala:

elementu simetriko ezker aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a \in A , \quad \exists \overrightarrow{a} \in A : \quad \overrightarrow{a} \circ a = e$

elementu simetriko eskuin aldetik $\circ$ eragiketarekiko, hau betetzen bada:

$a \in A , \quad \exists \overleftarrow{a} \in A : \quad a \circ \overleftarrow{a} = e$

elementu simetrikoa $\circ$ eragiketarekiko, elementu simetriko ezker aldetik eta eskuin aldetik existitzen bada, hau da:

$a \in A , \quad \exists \bar{a} \in A : \quad \bar{a} \circ a = a \circ \bar{a} = e$

$A \,$ multzoko elementu simetriko bat $\bar{a}$ simetrikoa da $a \,$ elementuaren eskuin aldetik eta ezker aldetik.