Espazio topologiko

Espazio topologikoak dira matematikaren topologia atalak aztertzen dituen objekturik garrantzitsuenak. Espazio topologikoei esker konbergentzia, konexutasuna, eta jarraitutasuna kontzeptuak formalki definitu daitezke.

Definizioa

X multzo ez-huts batez eta X-ren potentzia-multzoko $\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$ familia batez osatutako egitura matematikoa, non baldintza hauek betetzen baitira:

• $\empty, X \in \tau$
• $A_i \in \tau, i\in I$ familiako multzoen edozein bildura $\tau \,$-ko multzoa da: $\bigcup_{i \in I}A_i \in \tau$.
• $A_1,\ldots, A_n \in \tau$ familiako multzoen arteko ebakidura finitua $\tau \,$-ko multzoa da: $\bigcap_{i=1}^n A_i \in \tau$.

$\tau \,$ familia X-ren gaineko espazio topologikoa da, eta topologia esaten zaio.

Bestela esanda, $( X,\tau ) \,$ bikote ordenatua espazio topologiko bat da. $\tau \,$ topologiaren elementuei multzo irekiak deritze.

Adibideak

• Topologia nabaria: $\varnothing$ eta $\quad X$ multzoez osatua da.
• Topologia diskretua: $\quad X$-ren multzoaren parteen multzoaz osatua da.
• Osagarri finituen topologia: $\varnothing$ multzoaz eta $\quad X$-ren multzoez, zeinen osagarriak finituak diren, osatua da.
• Osagarri zenbakarrien topologia: $\varnothing$ multzoaz eta $\quad X$-ren multzoez, zeinen osagarriak zenbakarriak diren, osatua da.
• R, zenbaki errealen multzoa, eta $\tau \,$ tarte irekien eta haien edozein bilduren multzoa.
• Sorgenfrey zuzena: zuzen erreala azpilimitearen topologiarekin batera.

Ikus, gainera

• Estaldura topologikoa