Lankide:MarkelSuk/Aritmetika fundamentalaren teorema (1)

Matematikan, eta bereziki zenbaki teorian, Aritmetikaren funtsezko teoremak edo faktorizazio bakarraren teorema baieztatzen du 1 dela zenbaki lehen bat o bien lehen zenbakietako produktu bakar bat positibo nagusi oso guztia. Adibidez,

Ez da existitzen 6936tako beste faktorizazio bat eta 1200rik lehen zenbakietan. Ugalketa trukakorra den bezala, faktoreetako ordena garrantzirik gabekoa da ; arrazoi honetatik, eskuarki teorema agertzen du faktorizazio bakarra salvo faktoreetako ordenan.

Aplikazioak

Oso positibo baten ordezkaritza kanonikoa

N oso positibo guztiak > 1 zehazki ordezkatu ahal du era bakar batetik potentzietako lehengusu zenbakietako produktu bat:

P1 p2... Pka lehenak dira eta αi positibo osoak dira.

Ordezkaritza honek neko ordezkaritza kanonikoa deitzen du, edo neko forma estandarra.

Nabari izan bitza faktoreak p0 = 1 balioa neko p aldatu gabe sartu ahal dute (. Eta. 23 30 53 1000 = × ×). Hain zuzen, edozein zenbaki positibok bakarrik ordezkatu ahal dute infinitu produktu bat hartuta batez ere lehengusu zenbakietako taldea,

αp zenbaki mugatu bat positibo osoak diren lekuan, eta gainerakoa hutsa dira. Berretzaile negatiboak uztean forma kanoniko bat proportzionatzen du zenbaki arrazionalentzat.

Inportantzia

Teoremak lehengusu zenbakietako garrantzia ezartzen du. Hauek dira « oinarrizko adreiluak » se « eraikitzen dute » puntu positiboak, oso positibo guztiak eraiki ahal duen lehengusu zenbakietako era bakar baten produktua sentikorrean.

Faktorizazioa ezagutzeak zenbaki bateko lehengusuetan haren zatitzaile guztiak aurkitzea uzten du, lehengusuak edo konposatuak. Adibidez, lehen 6936 erakusgarritako emana edozein zatitzaile positibo faktorizazioak 6936 forma izan behar du: hiru b 17 c displaystylea bi cdota hiru b cdota 17 c bi ⋅ ⋅ { ^ { } ^ { } { } ^ { } }, 0 ≤ ≤ hiru lau balio posible (), b 1 bi balio posible () 0 ≤ ≤, eta 0 ≤ c ≤ bi hiru balio posible ().${\displaystyle }$ Aukera independenteetako zenbakia ugaltzean lautako oso bat lortzen du ⋅ bi ⋅ hiru = 24 { displaystylea 4cdot 2cdot 3=24 } zatitzaile positiboak${\displaystyle }$

Faktorizazioa ezagutzen edun bi zenbakitako lehengusuetan, erraz aurkitu ahal dute haren zatitzaile komun handiena eta multiplo komunetan txikiena. Adibidez, aurreko faktorizazioen 6936ren eta haren zatitzaile komun handiena bi den 1200k ondorioztatu ahal ditu ³ · hiru = 24. Hala ere, faktorizazioa ez badu ezagutzen lehengusuetan, Euklidesen algoritmoa erabiltzeak oro har asko eskatzen du gutxiago kalkuluak bi zenbakiak factorizatzea.

Funtsezko teoremak nahasten du multiplicativo funtzio gehigarri eta aritmetikoak guztiz daudela haren balio lehen zenbakietako potentzietan determinatuak.

Nagusia 1 era bakarretik idatzi ahal duen edozein n zenbaki oso, ordena salvo, lehengusu zenbakietako produktu bat.

Frogapena

Teorema ia-ia izan zen erakutsita lehen aldiz Euklidesengandik, lehen erakustaldi betea Disquisitiones Arithmeticae De Carl Friedrich Gaussen agertu zuen.

Lehen begiratuan teoremak irudi ezan arren « bistakoa », zenbakizko sistemetan ez balio du gehiago orokorrak, hauek puntu aljebraikoetako eraztun asko. Ernst Kummer lehena izan zen hau 1843an nabari edun, Fermaten azken teoremaren gainetik haren lanean. Epai honen aintzatespena lehen aurrerapausoen teoriako zenbaki aljebraikoetako bat da.

Euklidesen frogapena

Erakustaldia bi urratsetan egiten da. Lehen urratsean, erakusten du zenbaki guztia lehen zenbakietako produktu bat dela (produktu hutsa sartua). Bigarren urratsean, erakusten du ordezkaritza biak berdinak direla.

Lehenetan deskonposatu

Uste izan beza ez duen ordezkatu ahal oso positiboren bat existitzen dela lehengusuen produktua. Orduan n zenbaki minimo bat egon behar du jabetza horrekin. N zenbaki hau 1 ez da izan ahal, aurreko konbentzioagatik. Tampoco lehengusu bat izan ahal da, lehengusu guztia zenbaki lehen bakar baten produktua delako: bera.

Lehengusua ez denez, definiziotik zatitzen duen zenbaki desberdin bat dago bere burua eta desberdina 1. Zenbaki hori dei dezagun, zatigarritasunaren definiziotik b existitzen da horrelako n = aba.

Beraz, aba n =, a eta b positibo txiki osoak diren lekuan n. N minimo positibo osoa den bezala teorema erabakitzen duen, bak idatzi ahal duten bezala lehengusuen produktua honenbeste. Baina orduan nak = aba ere idatzi ahal du lehengusuen produktua, kontraesankorra den.

Bakartasuna

Bakartasuneko erakustaldia hurrengo egin bermatzen da: p zenbaki lehen batek ab produktu bat zatitzen badu, orduan zatitzen du edo b zatitzen du (Euklidesen lema). Lema hau erakusteko, uste badu p ara ez du zatitzen, p eta orduan lehengusuak dira berekiko eta Bézouten identitateagatik x existitzen dira eta eta puntuak horrelako pxa + aiene = 1. Betik ugaltzean pbxa lortzen du + abya = b, eta ezkerreko aldeko bi batugaiak zatigarriak direnez gero petik, eskuinaren terminoa ere zatigarria da petik.

Emaitza berdina izan dezaten lehengusuen bi produktu emanak, lehen produktuko p lehengusu bat har beza. Lehen produktua zatitzen du, eta hortaz ere bigarrenari. Aurreko eginagatik, pak gutxienez zatitu behar du bigarren produktuko faktore bat ; baina faktoreak lehengusu guztiak dira, beraz pak bigarren produktuko faktoreetako bat berdin izan behar du. Orduan ahal du produktu bietako p indargabetzea. Forma hau jarraitzean produktu bietako faktore guztiak indargabetuko dituzte, hauek zehazki egokitu behar dute.

Jaitsiera infinitu bidezko demostrazioa

Bakartasuneko beste proba batek faktorizazioetatik oso bat emanaren lehengusuetan infinitu jaitsieraren metodoa erabiltzen du.

Uste izan beza benetako zenbaki osoak idatzi ahal duela lehen faktoreetako produktua (gutxienez) bi era desberdin. Orduan, segundo oso minimo bat existitu behar du jabetza horrekin. P1 izan daitezen ·... Pma eta q1 · ·... Qna segundoko bi faktorizazio desberdin ·. P_ia (1 ≤ i ≤ m) q_jen bat berdin izan ahal da (1 ≤ j ≤ n), bestela zenbaki txiki bat egongo izan bi eraren factorizatu ahal izango litzatekeen segundoa (faktore komunak kentzea produktu biei lortua) aurreko ustea ezeztatzean. Orduan ahal du gehiengoko galerarik gabe uste izatea p1 txikia lehengusu faktore bat dela qja 1 j n guztiak (≤ ≤). Bereziki kontsidera bitza q1. Orduan osoak existitzen dira d eta r horrelako

Eta 0 r p1 q1 (r 0 ez da izan ahal, horrelako kasuan q1 p1 anizkoitz bat izango litzatekeenez gero eta hortaz osatuta). Alde biak ugaltzea segundotik q1 /, da

Azken adierazpeneko bigarren terminoa oso batera berdin izan behar du (ere baitira beste termino batzuk), k deituko duen ; hau da

Lortzen den lekua,

Bi aldeetako balioa ekuazio hau da jakina txikia segundoa, baina izaten jarraitu du dezente handia izateko moduan factorizablea. R txikia den bezala p1, alde bietan k idatzi egon ondoren bi faktorizazio lortuak eta r lehengusuen produktuak desberdinak izan behar duten bezala. Honek segundoa gehiago txikia factorizatu ahal den osoa den ustea ezeztatzen du forma bat baino gehiago. Beraz, hasierako usteak faltsua izan behar du.

Algebra abstraktuaren bidezko frogapena

N izan dadin oso bat. Zn talde mugatu bat da, osaketaren serie bat duen. Definizioagatik, faktoreak osaketaren serie batean sin_pleak dira ; hortaz, Znen seriean hauek ZP formakoa izan behar dute p lehengusuren batentzat. Znen ordena ordenen faktoreetako haren seriearen osaketaren produktua den bezala, honek neko faktorizazio bat ematen du lehengusu zenbakietan. Baina Jordan-hölderren teoremak baieztatzen du osaketaren serie bat bakarra dela, eta hortaz neko faktorizazioak bakarra izan behar du.

Ikus ezazu hau ere

• Aljebra funtsezko teorema
• Kalkuluko funtsezko teorema
• Puntuetako faktorizazioa

Kanpoko loturak

• Taula bateko lehengusu faktoreetako 1 zenbakientzat 360ari hizkuntza Logon eraikuntza

[[Kategoria:Aritmetika]]