Artikulu hau "Kalitatezko 2.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da
Artikulu hau Wikipedia guztiek izan beharreko artikuluen zerrendaren parte da

Zenbaki

Wikipedia, Entziklopedia askea

Zenbaki mota ezberdinak azaltzen dituen bertso sorta.
Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak

Zenbaki arruntak
Zenbaki osoak
Zenbaki arrazionalak
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki errealak
Zenbaki konplexuak
Zenbaki aljebraikoak
Zenbaki transzendenteak

Konplexuen hedadurak

Koaternioiak
Oktonioiak
Zenbaki hiperkonplexuak

Bestelakoak

Zenbaki kardinalak
Zenbaki ordinalak
Zenbaki lehenak
π = 3.141592654…
e = 2.718281828…
i unitate irudikaria
infinitua
Φ = 1,6180339887...

Zenbaki-sistemak

Zenbaki-sistema hamartarra
Zenbaki-sistema bitarra
Zenbaki-sistema hamaseitarra
Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbakia kantitate baten irudia edo sinboloa da. Zenbaki ezagunenak arruntak dira (0, 1, 2, eta abar), zenbatzeko erabiltzen direnak. Zenbaki negatiboak gaineratzen ba ditugu, osokoak lortzen ditugu. Osokoen arteko zatiduren bidez arrazionalak sor ditzakegu. Beste hamartarrak barne hartzen (irrazionalak, alegia) errealak burutzen ditugu, eta azkenean, konplexuak gaineratzen ekuazio aljebraikoak ebazteko behar diren zenbaki guztiak ditugu. Hala ere, beste zenbaki mota dira, infinituak eta transfinituak. Erreal diren artean, ekuazio aljebraikoaren soluzio ez direnak transzendenteak deritzegu; adibidez, Pi eta e. Bi zenbaki hauek Eulerren identitatearen bidez lotu daude (identitate honi munduko formula ospetsuena deritzete).

Egitura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aljebra abstktuan eta analisi matematikoan, zenbaki-sistemek honako egitura daukate:

Zenbaki-multzoek beste modu batzuetan ere adieraz daitezke, hala nola Hasse-ren diagramarekin, Euler-en diagramarekin eta Venn-en diagramarekin.

Zenbaki kontzeptuaren historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lehenengo gizakiak konturatu ziren bi multzoren artean aukeratu behar zutenean, handiena eta txikiena zein zen erabakitzeko moduren bat aurkitu behar zutela. Horregatik, zenbatzen hasi ziren. Horretarako, objektu fisikoak (hala nola harriak, hezurrak edo enborrak) erabili zituzten. Horren lekuko dira Lebombon aurkitu zuten 37.000 urteko antzinatasuna duen babuino-hezur landua, 29 hortz markarekin, edo Txekoslovakian aurkitutako otso-hezurra, 5 multzotan banatutako 57 hozkekin.

Ishango-ko[Betiko hautsitako esteka] hezurra, duela 20.000 urte egindako aztarnak dituena.

Marken ordez, sinboloak erabiltzen hasi ziren, zerga- eta jabetza-erregistroak zenbatzeko. Aurkikuntzak Mesopotamian egin ziren, K.a. 8.000. urtean. Hasieran, erregistro horiek zenbatzeko, buztinezko fitxak erabiltzen ziren, baina denbora pasa ahala, buztinezko oholtxoetan hasi ziren idazten zenbakiak, sinbolo desberdinak erabiliz. Hala ere, metodo horiek merkatal edo kontabilitate gaietan bakarrik erabili ziren, nahiz eta lur-neurketan eta astronomian ere oso erabilgarriak izan, esate baterako, mugimendu planetarioak erregistratzeko.[1]

Duela 5.000 urte hasi ziren erabiltzen gaur egun ezagutzen ditugun zenbaki-sinboloak.

Egipziar zatiki unitarioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1858an Henry Rhind-ek Egipton, zatikiei buruzko informazioa zeukan papiro bat aurkitu zuen. Papiro hori, K.a. 2.000. eta K.a. 1.800. urteen artekoa da. Hala ere, zatiki unitarioak soilik hartzen zituzten kontuan, hau da, zenbaki naturalen alderantzizkoak zirenak, , eta obalo batekin adierazten zituzten. Bazeuden beste sinbolo bereziekin adierazten zituzten frakzioak, hala nola edo itxurakoak. Papiro honetan, motako zenbakien deskonposizio-taulak zeuden, adibidez, edo . Taula hauetan agertzen ziren frakzioetan erabili zuten zenbakia 1etik 101era bitartekoa zen.

Zeroaren sorkuntza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Grezian, K.a III. mendean, oraindik ez zenez 0 ikurra existitzen, hutsa adierazteko,oudos “o” ikurra erabiltzen hasi ziren, baina ikur horrek, ez zuen gaur egun zeroak duen esanahi bera.

Amerikan, hogei oinarriko zenbaki sistemen lehenengo adierazpena K.a III. mendekoa da. Olmeka zibilizazioko hilarri batean zeroaren eta ordenaren kontzeptuak ageri dira.

Maiek, aldiz, zeroa adierazteko lau ikur asmatu zituzten. Garrantzitsuenak bi dira: batetik, zero matematikoa adierazteko, barraskilo baten oskolaren ebaketa erabiltzen zen, eta bestetik, egutegiko zeroa adierazteko, lore bat erabiltzen zuten.

Zenbaki negatiboak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

628an, Brahmaguptak, bigarren mailako ekuazioen bi erroak hartu zituen kontuan, nahiz eta horietako bat negatiboa edo irrazionala izan. Urte horretan, bere obran agertu ziren lehenengoz zenbaki positiboen, negatiboen eta zeroaren (+, -, *, /, berreketak eta erroak) aritmetika sistematizatuta. Zenbaki negatiboak, entitate isolatu bezala ere erabili zituen, geometria aipatu gabe. Hau guztia, lortu zuen bere zorroztasun eta oinarri logikoekiko kezka eza izateagatik eta praktikotasunaren eta formaltasunaren arteko nahasketagatik.

Baina Brahmaguptak, zenbaki negatiboekin egin zuen lana alde batera geratu zen eta hainbat mende igaro behar izan ziren (Errenazimendura arte) hauek berreskuratzeko.

Antza denez, txinatarrek ere bazuten zenbaki negatiboen ideia, eta kalkuluak egiteko koloretako hagaxkak erabili zituzten; beltzak zenbaki negatiboentzako eta gorriak positiboentzako.

Zenbaki konplexuen formulazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuak gutxitan onartzen ziren erro edo ekuazioen soluzio gisa eta ia inorengandik koefiziente modura. Zenbaki hauek, hasiera batean, ficticii ‘fikziozko’ izena hartu zuten.

G. Cardanok (1501-1576) 10 zenbakia bi zatitan zatitu, haien biderkadurak 40 balio dezan problema ebaztean, soluzio hauek lortu zituen: eta .

Ekuazio kubikoak Cardano-Tartaglia formularen bidez ebaztean, nahiz eta erroak errealak izan, zenbaki negatiboen erroak ageri dira tarteko urratsetan. Egoera horretan, R. Bombellik (1526-1573) bere Aljebra liburuan “ideia ero” zeritzona izan zuela dio, hau da, errotzaileek errokizunen erlazio bera izan zezaketen eta haiekin lan egin zezaketen, beranduago, desagerrarazten saiatuz gero.

Indukzio matematikoaren printzipioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Indukzio matematikoaren aurrekaria indukzio osoa izeneko frogapen metodoa da. Pascalek (1623-1662) indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, gaur egun ezagutzen dugun moduan, bere izena daraman zenbaki triangeluari dagozkion propietateak frogatzeko. Indukzioaren bidezko frogapenek bi zati dituzte beti: oinarrizko urratsa eta indukziozko urratsa. Ondoren, notazio gaurkotuan deskribatzen dira:

zenbaki arrunten azpimultzoa bada ( moduan ezaguna) eta elementu bakoitzak propietatea betetzen badu non:

  1. azpimultzoan dago.
  2. -n badago, orduan ere -n dago.

Beraz, =, hau da, edozein zenbaki arruntak propietatea betetzen du.

Intuizioz, indukzioa domino efektu gisa ulertzen da. Domino fitxen errenkada infinitua dugula suposatuz, oinarrizko urratsa lehenengo fitxa jaurtitzean datza; bestalde, urrats induktiboak frogatzen du fitxaren bat erortzen bada, hurrengo fitxa ere eroriko dela. Horren ondorioa errenkada horretako fitxa guztiak bota daitezkeela da.

Zenbaki konplexuen interpretazio geometrikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Interpretazio hau Gaussi (1777-1855) esleitzen zaio. motako zenbaki konplexu osoekin ere lan egin zuen, eta zenbaki osoak izanik. ikurra Euler hasi zen erabiltzen 1777an eta Gaussek zabaldu zuen 1801ean Disquisitiones arithmeticae obran.

Zenbaki konplexuen irudikapen grafikoa Caspar Wessel-ek (1745-1818) egin zuen, baina oharkabean igaro zen. Horregatik, zenbaki konplexuen planoak <<Gaussen planoa>> du izena. Girard-en garaitik (XVII. mendearen erditik) ezagutzen da zenbaki errealak zuzen baten puntuekin bat egiten dutela.

Zenbakien sailkapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki arruntak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki arrunt»
0,1,2,3,4 / ta osteko denak / izenak dion gisan / dira ARRUNTenak / duguna zenbatzeko / balio dutenak.

Zenbaki motarik ezagunenan zenbaki arruntak dira, askotan zenbaki oso ere deituak: 1, 2, 3 eta ondoren doazen guztiak. Tradizionalki zerrenda hau 1 zenbakiarekin hasi da, 0 ez baitzen kontsideratzen zenbaki bat Antzinako Grezian. Hala ere, XIX. mendetik aurrera multzo-teoriaren garatzaileek eta matematikariek 0 gehitzen hasi ziren zenbaki arrunte barnean. Gaur egun, matematikariek bi multzoak izendatzeko erabiltzen dute zenbaki arruntak, 0 barnebildu edo ez[2]. Matematikan zenbaki hauek izendatzeko erabiltzen den sinboloa N da, baita idatzia, eta batzuetan edo beharrezkoa denean adieraztea 0 edo 1 zenbakitik hasten diren.

Zenbaki sistema hamartarrean, gaur egun operazio matematikoetan ia unibertsalki erabiltzen dena, zenbaki naturalak hamar digitu erabiltzen idazten dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, eta 9. Zenbaki-sistemaren oinarria zenbaki-sistema batek zenbakiak errepresentatzeko erabiltzen duen digito ezberdinen kopurua da. Zenbaki sistema hamartarrean 10 da[3]. Sistema honetan, eskuman idazten den sistemak 1-eko leku-balioa du, eta beste edozein digitok bere eskubian dagoen digitoaren 10 aldiz balio handiagoa izango du. Adibidez, 34 zenbakian 4 digitoak balioa izango du eta 3 digitoak .

Zenbaki osoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki oso»
Jasotzeko adina / dugunez kentzeko / minus-a beharrezko zen / hori azaltzeko / negatiboak / gehitu / ziren OSOtzeko

Zenbaki osoen multzoan zenbaki arruntak biltzen dira (0,1,2,...), beren aurkakoekin batera (-0,-1,-2,...). -0 eta 0 berdintzat jotzen dira. Zenbaki osoen multzoa Z hizkiaz izendatu ohi da (Zahlen germanierazko hitzetik). Zenbaki osoak batu, kendu eta biderkatu egin daitezke: emaitza beti izango da zenbaki oso bat.

x+a=b motako ekuazioen soluzioa, non a eta b zenbaki osoak diren, zenbaki osoa izango da. Zenbaki arrunten kasuan ez da esaterako gauza bera gertatzen. Zorrotzago, zenbaki osoen multzoak, batuketa eta biderketa eragiketak definitu ondoren, eraztun trukakorra osatzen duela esan behar da.

Zenbaki arrazionalak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sakontzeko, irakurri: «Zenbaki arrazional»
Ta elkarbanatzea / denez naturala / pizza bat zein pastel bat / zatitu bezala / osoen zatidura / da ARRAZIONALA</poem>

Zenbaki arrazional bat zatiki moduan espresa daitekeen edozein zenbaki da, zenbakitzailea zenbaki oso bat baldin bada eta izendatzailea zenbaki oso positibo bat. Izendatzaile negatiboak baimentzen dira, baina normalki ez dira erabiltzen, edozein zenbaki arrazional izendatzaile positibo bat duen zatiki baten berdina delako. Zatikiak bi zenbaki osorekin osatzen dira, zenbakitzailea eta izendatzailea, barra bat jarrita zatitzen euren erdia. Adibidez zatikiak m zatitzen du n atal berdinetan. Bi zatiki egon daitezke zenbaki arrazional berdinari dagokionak, adibidez eta berdinak dira, hau da,

Oorkorrean

baldin eta bakarrik

mren balio absolutua nrena baino handiagoa bada (positiboak direla pentsatuz), orduan zatikiaren balio absolutua 1 baino handiago izango da. Zatikiak izna daitezke 1 baino handiago, txikiago edo berdin, eta izan daitezke positibo, negatibo edo 0. Zenbaki arrazional guztien multzoak zenbaki oso guztiak barnean hartzen ditu, edozein zenbaki oso idatzi daitekeelako izendatzailearen zatiki gisa. Adibidez, -7 idatzi daiteke gisa. Zenbaki arrazionalen ikurra Q da (quotient hitzetik), eta horrela ere idatzi daiteke: .

Zenbaki arrunt bereziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbakien ezaugarrien ikerketari esker, bitxiak diren zenbakiak aurkitu dira, matematikoki balio berezirik izan ez arren:

  • Sheldon, adibidez, 73 zenbakia. 21. zenbaki lehena da, eta 7 · 3 = 21 betetzen da. Digituak trukatzean, 37 zenbakia lortzen da, eta hau, 12. zenbaki lehena da.
  • Nartzisista, n digituko zenbakia da, haren digituak n. mailara berretzean eta batzean, zenbaki bera ematen dute. Adibidez, 153 = 13 + 53 + 33.
  • Omirp, zenbaki lehen baten digituak trukatzean, beste zenbaki lehen bat ematen dute. Adibidez, 1597 eta 7951.
  • Banpiro, bere digituetatik lortutako bi zenbakiren biderkadurak, beste zenbaki lehen bat ematen du.

Beste zenbaki batzuk[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbakien adierazpen sistema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zifra, digitu eta zenbakizko[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbakiak letraz adierazteko modu ohikoenetako bat sinboloen multzo finitu bat edo digitu bat da, eta modu egokian konbinatuz, zenbaki gisa funtzionatzen duten zifrak eratzea ahalbidetzen du. Zeinu-sekuentzia jakin bat zenbaki bat irudikatzeko erabiltzen denean, zenbakizkoa deitzen zaio.

Zenbakizko oinarria[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hizkuntza naturalek eta zifren bidez idazten diren zenbakiek arazoak izan ohi dituzte kopuru handiak adierazteko. Hori konpontzeko, matematika arloan oinarri aritmetiko bezala ezagutzen dena erabiltzen hasi zen, hau da, edozein zenbaki beste baten batuketaren edo biderketaren bidez adierazi zen. Adibidez, 13568 zenbaki arabiarra horrela banakatzen da:

8ak, azken zifra denez, unitateak adierazten ditu; 6ak, hamarrekoak; 5ak, ehunekoak; 3ak, milakoak; eta 1ak, hamar milakoak. Hau da:

1 · 104 + 3 · 103 + 4 · 102 + 6 · 101 + 8 · 100 = 13568

Hizkuntza askok oinarri hamartarra erabiltzen dute, sistema arabiarrak bezala, beste hainbat hizkuntzatan, aldiz, ohikoa da hogei oinarriko sistemak erabiltzea.

Zenbakiak hizkuntza naturaletan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hizkuntza naturalek izenak erabiltzen dituzte hatz bidezko zenbaketan oinarritutako zenbakietarako. Horregatik, hizkuntza gehienek 10 oinarriko (eskuetako hatzak) edo 20 oinarriko (esku eta oinetako hatzak) zenbaki-sistemak erabiltzen dituzte.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. Stewart, Ian, 1945-. (). Historia de las Matemáticas : en los ́ultimos 10.000 años. Crítica, or. 13-14 or. ISBN 978-84-7423-841-9. PMC 407170807. Noiz kontsultatua: 2020-11-13.
  2. (Ingelesez) W., Weisstein, Eric. Natural Number. Noiz kontsultatua: 2018-01-26.
  3. (Ingelesez) «Base system | ChalkStreet Aptipedia» ChalkStreet Noiz kontsultatua: 2018-01-26.

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]