Aleph zenbakia

Álef 0, txikiena zenbaki transfinitu guztien artean (kardinalak).

Multzoen teorian, alef ($\aleph$, hebrear alfabetoko lehen letra) zenbaki transfinitu jakin batzuk izendatzeko erabiltzen den zeinua da, berez hasierako zenbaki ordinalak eta, beraz, zenbaki kardinalak baitira. Georg Cantor matematikariak sartu zituen lehenbizikoz.

Analisi matematikoan, maiz agertzen dira alef 0 eta alef 1, nahiz eta zenbaki transfinitu arbitrarioki handiagoak defini daitezkeen, bi horietatik haratago. Zenbaki arruntena bezalako multzo infinitu baten elementu kopurua adierazten du alef 0 kardinalak, eta, hain zuzen, zenbaki transfinitu txikiena da kardinal hori. Multzoen teoria inauguratu zuen Georg Cantorrek frogatu zuen elkarren artean kontaezinak ziren infinitu mota desberdinak bazirela, eta, beraz, multzo infinitu guztiak ez zirela ekipotenteak. Cantorrek frogatu zuen zenbaki errealen multzoak zenbaki osoenak baino "elementu gehiago" zituela (nahiz eta bi multzoetako bakar bat ere ez izan mugatua, biak "infinitate" mailan diferenteak zirela). Zuzen errealeko elementu-kopurua ${\mathfrak {c}}$ edo $(\aleph _{1})$ moduan adierazi zen.

Zehatz-mehatz froga daiteke ezen, zenbaki ordinal guztiek osatutako klasea dela eta, isomorfismo (ordenakoa) bakarra dagoela klase horren eta kardinal transfinituen klasearen artean. Isomorfismo hori, $\aleph$ denotatua, multzoen teorian erabiltzen da arbitrarioki handiak diren kardinal transfinituak eraikitzeko. Isomorfismo hori epimorfismo bat da (isomorfismo supraiektiboa), eta, beraz, matematikoki, kardinal transfinitu guztiak alef motako kardinal bat dira.

Bibliografia

• Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded 2006, Springer Science & Business Media, ISBN 3-540-44085-2 . 1. arg. 1978

Ikus, gainera

• Infinitua
• Multzoen teoria
• Georg Kantaria

Kanpo estekak

• Datuak: Q908627