Funtzio supraiektibo

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematikan, funtzio supraiektibo bat funtzio bat da, zeinak multzoko (koeremuko) elementu guztiei gutxienez multzoko (eremuko) elementu bat esleitzen zaien. Beste era batean esanda, koeremuko elementu bakoitza, funtzio beraren eremuko elementuren baten irudia da; edo -ko elementu guztiek aurreirudia dute multzoan, eta ez da zertan bakarra izan.

Supraiektibo terminoa Nicolas Bourbakik, XX. mendeko matematikari nagusiki frantsesen talde batek, erabili zuen lehenengoz, baita injektibo eta bijektibo hitzak ere. Sur hitz frantsesak gainean esan nahi du; izan ere, funtzio supraiektibo baten irudiak koeremua guztiz estaltzen du.

Edozein funtzio bihur daiteke supraiektibo, koeremua murrizten bada eremuaren irudira. Funtzio supraiektibo guztiek alderantzizkoa dute eskumatik, eta eskumatik alderanzgarria diren funtzio guztiak derrigorrez supraiektiboak dira. Gainera, bi funtzio supraiektiboen konposaketa supraiektiboa da beti, eta edozein funtzio deskonposa daiteke supraiekzio eta injekzio batean.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio bat supraiektiboa da, baldin eta eremuaren irudiak koeremu osoa hartzen badu. Hau da, funtzioan baldin bada, edo, matematikoki adierazita,

Kardinalitatea eta supraiektibitatea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez A eta B bi multzo. A-tik B-rako funtzio supraiektibo bat existitzen bada , 2 multzo horien kardinalek erlazio hau betetzen dute:

Gainera, B-tik A-rako funtzio supraiektibo bat existitzen bada , orduan froga daiteke (Cantor-Bernstein-Schröder-en teoremaren bidez) existitzen dela A-tik B-rako bijekzio bat.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Edozein multzorako, x identitate funtzioa -n supraiektiboa da.
  • funtzioa, horrela definituta: modulua (hau da, zenbaki bikoitiak -ra doaz eta zenbaki bakoitiak -era), supraiektiboa da.
  • funtzioa, horrela definituta: supraiektiboa da (baita bijektiboa ere), zenbaki erreal bakoitzarentzako, existitzen delako bat non eta den.
  • funtzioa, horrela definituta: supraiektiboa da, edozein zenbaki errealen aurreirudia polinomio kubikoaren soluzioa delako, eta koefiziente errealeko polinomio kubiko guztiek gutxienez erro erreal bat dute. Alabaina, funtzio hau ez da injektiboa (ezta bijektiboa ere); zeren eta, adibidez, -ren aurreirudia da. (Izan ere, tarteko elementuek aurreirudi bat baino gehiago dute).
  • funtzioa, horrela definituta: , ez da supraiektiboa, ez dagoelako zenbaki errealik betetzen duenik. Halere, funtzioa, horrela definituta: (koeremu murriztuan) supraiektiboa da, koeremu positiboko bakoitzarentzat existitzen delako bat eremu errealean non den.
  • Logaritmo naturalen funtzioa supraiektiboa da, eta baita bijektiboa ere (zenbaki erreal positiboen multzotik zenbaki erreal guztien multzora doana). Bere alderantzizkoak, funtzio esponentzialak, eremu bezala zenbaki errealen multzoa badu, ez da supraiektiboa (bere definizio-eremua zenbaki erreal positiboen multzoa baita).
  • Matrize baten esponentziala ez da supraiektiboa -ko matrizeetatik bere burura doan aplikazio bezala kontsideratzen badugu. Nolanahi ere, normalean -ko matrizeetatik n mailako talde lineal orokorrera definituta dago (hau da, -ko matrize alderanzgarrien taldera). Definizio horretan oinarrituz, matrize baten esponentziala supraiektiboa da matrize konplexuentzat, baina ez matrize errealentzat.
  • -ko biderketa kartesiarretik bere faktore baterainoko proiekzioa supraiektiboa da, beste faktorea hutsik egon ezean.
  • 3D-ko bideo-joko batean, bektoreak 2D-ko pantaila lau batean proiektatzen dira funtzio supraiektiboa erabiliz.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Funtzio bat bijektiboa da baldin eta soilik baldin aldi berean supraiektibo eta injektiboa bada.

Eskumatik alderanzgarriak diren funtzio supraiektiboak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

funtzioa funtzioaren eskumako alderantzizkoa da baldin eta bada -ko guztientzako. Bestela esanda, -ren eskumako alderantzizkoa da baldin eta konposaketa -ko eremuaren identitate funtzioa bada. funtzioa -ren erabateko alderantzizkoa izan behar da, haien konposizioa ordenaz aldatzean, , gerta daiteke ez izatea -ko eremuaren identitate funtzioa. Alegia, -k alderantzikatu dezake, baina -k ez du zertan alderantzizkatu.

Eskuatik alderanzgarriak diren funtzio guztiak supraiektiboak dira. Funtzio supraiektibo guztiak eskumatik alderanzgarriak direla esaten duen proposizioaren baliokidea hautaketa axioma da.

funtzio bat bada eta -ko azpimultzo bat, orduan . Hortaz, berreskuratu ahal da bere aurreiruditik.

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]