Infinitu

Bernoulli leminiskatak infinituaren ikurra marrazten du formula matematiko baten bidez.

Infinitu ($\infty$) zenbaki errealen multzoko goi muga da. Kontzeptua matematikaren, filosofiaren eta astronomiaren hainbat adarretan agertzen da, mugarik gabeko edo amaierarik gabeko kopuru bati dagokionez, eta kopuru hori finitutasunaren kontzeptuaren aurkakoa da.

Historia

Antzinako Grezian infinituari buruzko lehen eztabaidak agertu egin ziren, Zenon filosofo greziarra esaten zuen infinitua unibertsoa geldiarazi dezakela. Idei hau hobeto ulertzeko K.A. VI mendera joango gara, mende horretan Elea-ko Parmenideak izatearen existentzia aldarrikatu zuen. Izatearen ezaugarri nagusia Parmenides-en arabera, existitzearena da. Horren ondorioz Parmenides suposatu zuen izatea unibertso osoa betetzen zuela. Eta izatearen existentzia ez duen leku bat egongo balitz, leku horretan ez existituko litzateke izatea. Baina, izatea existitzen ez dela kontraesan bat da. Hau kontuan hartuta, Parmenides ondorioztatu zuen izatea aldaezina dela eta orduan unibertsoa ere. Hau esan nahi du gure inguruan ikusten dugun mugimendua, aldaketa eta denbora ez direla existitzen. Eta izatean ez dagoela ez etorkizuna ezta iragana, bakarrik existitzen dela oraina.

Zenon infinitua defendatzen

Zenon Parmenidesen ikaslea izan zen eta bere maisuaren ideak defendatzeko arrazoipen batzuk planteatu zituen, Zenonen paradoxak bezala ezagututa. Paradoxak horiekin saiatu zen frogatzen mugimendua eta aldaketak ez direla existitzen, gure zentzumenen eta gure buruaren gezurrak direla. Paradoxa guztiak infinituarekin erlazionatuta daude. Horietako bat kontatzen digu harri bat metro batera dagoen zuhaitz baten kontra botatzen badugu, gure begiak ikusten dute nola harria iristen den zuhaitzaraino, baina Zenon esaten du harria inoiz ateratzen dela gure eskutik. Hau frogatzeko Zenon esaten du distantzia osoa egin baino lehen distantziaren erdia egin behar duela, baina lehenago laurden bat egin behar du eta laurden bat egin baino lehen zortziren bat egin behar du eta hau gertatzen da bata bestearen segidan. Zuhaitzara heltzeko infinitu pauso egin behar dira, baina ezinezkoa da infinitu pauso egitea denbora tarte finitu batean, horregatik Zenon ondorioztatzen du harria ez dela inoiz gure eskutik atera. Eta modu horretan infinitua erabiliz frogatzen du unibertsoa aldaezina dela.

Aristoteles infinitua argudiatzen

K.A IV mendean Aristoteles Física idatzi zuen, bertan gorputzen mugimenduei buruz hitz egiten du, baino mugimenduari buruz hitz egiteko lehen Parmenidesen eta Zenonen argumentuak eztabaidatu behar zuen. Hau eztabaidatzeko Aristoteles esan zuen izatea existitzen zela, baina bi eratan bereizi zituen potentzian eta egintzan. Adibidez: ume bat heldu bat da potentzian eta handitzen duenean heldu bat da egintzan. Hau ikusita esan dezakegu umea bere egoera aldatu egin duela, horren ondorioz umea aldatu egiten da, baina ez zen inoiz izateari utzi. Modu honentan Parmenidesen izatearen ideia aldaketarekin erlazionatzen du, eta argi usten du izatea aldatu dezakela. Baina Zenonen paradoxak esaten zuten denbora eta espazioa infinituki zatitzaileak direla, hau argudiatzeko Aristoteles esan zuen infinitua bakarrik existitzen zuela potentzian eta ez egintzan. Infinitua potentzian nahi duen guztia handitu dezakeen kantitate bat da, baina denbora guztian finitua dena. Eta infinitua egintzan, infinitua den kantitate bat da. Ideia hau bi mila urte baino gehiago iraun zuen.

Infinitua existentziarik eza defendatuz egintzan

infinitu bederatzi

Infinitua egintzan existitzen ez dela defendatzeko, Aristoteles argumentu ezberdinak eman zituen. Horietako bat, giza adimena ezin dezake infinitua egintzaren irudi bat errepresentatu. Adibidez, gure adimena zuzen bat irudika dezake, baina ez inoiz ez bukatzen den zuzen bat, beste adibide bat zenbaki guztien zerrenda bat irudikatzea da, ezin dugu irudikatu zerrenda bat existitzen den zenbaki guztiekin. Beste argumentu bat, infinitua erabiltzen dugunean zerbait arrazoinatzeko oso erraza da kontraesanetara iristea. Hau kontuan hartuta infinitua egintzan existitzen ez zela ondorioztatu zen.

Zenbait mende pasatu eta gero, konkretuki XVII mendean Galileo Galilei kontraesan logiko batzuk aurkitu zuen bere ikerkuntzetan eta horren ondorioz, infinitua egintzaren ideia baztertu zuen. Geroago XIX mendean Bernard Bolzano, infinituari buruzko teorema matematiko bat garatzen saiatu zen, baina zenbait paradoxak aurkitu zituen eta ez zuen ebazten jakin.

Ere bai pentsamendu honen aurka zeuden pertsonak egon ziren, adibidez erromatar poeta Lucrecio izenekoa. Lucrecio unibertsoa infinitoa zela defendatzen zuen. Aurkako kasuan, unibertsoa muga bat izan beharko luke eta muga hori zeharkatzeko behar den indarrarekin botatzen badugu objektu bat, objektu hori gure unibertsoaren kanpoan bizitzera pasatuko litzateke eta ezin dezake egon zerbait unibertsoaren kanpoan existitzen dena. Baina ideia hau baztertu egin zen, gaur egun badakigu unibertsoa finitu izan daitekeela eta muga bat izan gabe, hau defendatzeko hurrengo adibidea erabil dezakegu: esfera baten azalera finitua da eta ez du muga bat.

Pentsamendu hau matematikan menderatu zuen 1870eko hamarkadara arte. Hamarkada horretan errusiar-alemaniar matematikari Georg Cantor bere logika jarraituz, bere burua behartuta ikusi zuen matematikan infinitu egintzaren ikasketa sartzera.

Galileo-ren infinitua

Zenbaki arrunt bakoitza, zenbaki oso bikoitiekin elkartzen.

Erdi Aroan Aristoteles-ren ideiak onartzen zuten, eta ondorioztatu egin zen infinitua egintzan bakarrik Jainkoa uler dezakela. 1638 urtean Galileo lan bat argitaratu zuen Bi zientzia berriei buruzko dialogoa , lan honetan Aristotelesn fisikaren parte bat eztabaidatzea da dinamikaeta estatika erabiliz. Baina infinitu egintzan-ri buruzko ideia errespetatzen zuen lan horretan. Eta argumentu batzuk erabili zituen. Egongela handi batean gizon eta emakumeak egongo balira, haien artean gizon gehiago, gutxiago edo kopuru berdina badago emakumeen kopuruarekin konparatuz gero jakiteko, emakumeak eta gizonak kontatu beharko litzateke. Eta gizon bakoitza bikote bat osatzen badu emakume batekin, kopuru berdina dagoela erakusten du. Orduan bi multzo finito badugu eta multzo bakoitzaren elementua beste multzoaren elementu batekin elkartu badezakegu, bi multzoak kopuru berdina dute.

Beste argumentu bat, Galileo lan horretan bi multzo hartzen ditu alde batetik zenbaki arruntak eta beste aldetik zenbaki arrunt bakoitzaren karratua. Argi dago zenbaki arrunten multzoa handiagoa dela. Baina, Galileo esaten dela posiblea dela lehen multzoaren zenbaki bakoitza bere karratuarekin elkartzea. Elkarketa hau esaten digu zenbaki kopuru bera dagoela. Baina galdera hau egiten badugu ¿Zenbaki natural gehiago daude edo kopuru bera?

Galileo esaten du ezin dugula "handiago", "txikiago" edo "berdin" kontzeptuak erabili bi multzo infinituak konparatzeko, bakarrik erabili dezakegu finituak direnean. Orduan Galileo ondorioztatzen du bi multzo infinitu konparatzea absurdua dela. Baina, Georg Cantor multzo finituak neurtzea eta konparatzea erabaki zuen.

Georg Cantor eta infinituaren teoria

Georg Cantor

Georg Cantor ziur zegoen infinituari buruzko teoria matematiko bat posiblea zela, modu horretan gaur egun ezagutzen dugun teorietako garrantzitsuenetako bat sortu zuen eta matematikak pentsatzeko modu askeago bat ireki zuen.

Cantor eta ordinalak

Cantor sortutako kontzeptu garrantzitsuenetako bat ordinalak dira, ordinalak infinutu zenbaki zenbatu eta gero datozen zenbakia infinitu dator, hau da ordinala (ω). Ondoren ω+1, ω+2, ω+3,+...: serie hau eta gero ω+ω dator eta hau eta gero ω+ω+1, ω+ω+2,...: eta horrela jarraitzen da. ω zenbakia kantitate infinitu bat egintzan irudikatzen du. Cantor bere pentsatseko moduarekin matematikak aldatu egin zuen. Cantor bere teoriak atera baino lehen bakarrik aztertzen ziren fenomeno konkretuak edo korrelatu erreal bat, Cantor eta gero bakarrik eskatzen da koherentzia logika izatea.

Ikerkuntzaren hasiera

Infinituaren teoria Cantor-en talentuaren emaitza da, eta 1882 urtean bere teoria lantzen hasi zen. Cantor infinutuari buruzko bere lehen ideiak planteatu zuen Halle-ko unibertsitatean lan egiten hasi zuenean. Baina bere ideiak oposizio handi bat aurkitu zuten. Adibidez, unibertsitatean zegoen bitartean Cantor-en irakaslea izan zen Leopold Kronecker, Kronecker bere influentzia erabiliko zuen Cantor-en ideiak ez zabaltzeko. Cantor 1874 urtean bere ideiak zabaltzeko lehen saiakera egin zuen artikulu baten bidez.

Ikurra

Jonh Wallis

Infinitu ikurraren asmakuntza John Wallis matematikari ingelesari egozten zaio, 1655an. Bernoulliren Lemniscataren forma du, baina ez da oso ziurra irudiaren jatorria bera. Moebius bandaren itxura ere badu, baina hau geroagoko aurkikuntza bat denez ezin da hortik eratorria izan.

Ezaugarriak

• Ez da zenbaki bat
• Edozein zenbaki zeroaz zatituta, zero bera ezik, infinitu ematen du.

Ezaugarri aritmetikoak

Infinitua ez da zenbaki erreal bat baina operazio aritmetikoan hala ere erabili daiteke erreala balitz bezala:

Eragiketak bere buruarekiko

1. $\infty +\infty =\infty \cdot \infty =(-\infty )\cdot (-\infty )=\infty$
2. $(-\infty )+(-\infty )=\infty \cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot \infty =(-\infty )$

Eragiketak zenbaki errealekin

1. $-\infty <x<\infty$
2. $x+\infty =\infty$ eta $x+(-\infty )=(-\infty )$
3. $x-\infty =-\infty$
4. $x-(-\infty )=\infty$
5. ${x \over \infty }=0$ eta ${x \over -\infty }=0$
6. $0<x<\infty$ baldin bada, orduan $x\cdot \infty =\infty$ y $x\cdot (-\infty )=(-\infty )$.
7. $-\infty <x<0$ baldin bada, orduan $x\cdot \infty =-\infty$ y $x\cdot (-\infty )=\infty$.

Eragiketa ez definituak

1. $0\cdot \infty$ eta $0\cdot (-\infty )$
2. $\infty +(-\infty )$ eta $(-\infty )+\infty$
3. ${\pm \infty \over \pm \infty }$
4. ${\pm \infty }^{0}$
5. $1^{\pm \infty }$

Azkena indeterminazioa izateko produktu bakoitza bat izan ordez, baterantz doazen zenbakiak izan behar dira. 1*1*1*1..., beti izango da 1.

Ikus, gainera

• Asintota
• Multzo zenbakarriak
• Infinitesimala

Kanpo estekak

• Datuak: Q205
• Multimedia: Infinity / Q205