Azpimultzo

Wikipedia, Entziklopedia askea
Eulerren diagrama honen bidez
erakusten da A B-ren azpimultzo propio bat dela eta alderantziz B A-ren gainmultzo propio bat

Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez A eta B bi multzo non A-ren elementu bakoitza B-ren elementua ere den. Orduan:

  • A B-ren azpimultzoa da, eta AB adierazten da
  • B A-ren gainmultzoa da, eta BA adierazten da


Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.

Azpimultzo propioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.

Izan bedi A B-ren azpimultzo bat ezen AB baita. Orduan esaten da A B-ren azpimultzo propio bat dela, eta AB adierazten da.
(Era berean, esaten da B A-ren gainmultzo propio bat dela, BA)


AB eta BA notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, AB eta BA; edo azpimultzo propio, AB eta BA.

Ezaugarriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.
  • A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
  • A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
  • Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • {1,2,3} multzoa {-563,1,2,3,68} multzoaren azpimultzo propio bat da.
  • {46,189,1264} multzoa beraren azpimultzo bat da, eta zenbaki arrunten multzoko azpimultzo propio bat da.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]