Trigonometria

θ angeluaren funtzio trigonometriko guztiak geometrikoki 0an zentratutako zirkuluarekin eraiki daitezke

Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu), triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

Angeluak neurtzeko unitateak

Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak zati segundo( rad/s) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

Arrazoi trigonometrikoak

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen $\alpha \,$ angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

• Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {sin} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {a}{c}}$

• Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

$\cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {b}{c}}$

• Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}$

Balioak

Zirkunferentzia radianetan.	Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.

Radian	Gradu hirurogeitar	sin	cos	tan	cosec	sec	cotg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$
${\frac {1}{6}}\pi$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4}}\pi$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {1}{3}}\pi$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {1}{2}}\pi$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$	$0\,$

Koadranteak

koadranteetan ere badaude angeluak, eta sinua, kosinua eta tangentea aldatzen dira segun zein koadrantetan den.

Eragiketa trigonometrikoak

Pitagorasen teorema

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

$\operatorname {sin} \alpha ={\frac {a}{c}}$

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

$c=1\,$

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,$

Bi angeluen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin} (\alpha +\beta )=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\sin(\alpha -\beta )=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,$

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

$\operatorname {sin} \alpha +\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

$\operatorname {sin} \alpha -\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)$

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

$\cos(\alpha )\cos(\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}$

$\sin(\alpha )\sin(\beta )={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

$\sin(\alpha )\cos(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

$\cos(\alpha )\sin(\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}$

Angelu bikoitza

$\operatorname {sin} 2\alpha =2\operatorname {sin} \alpha \cdot \cos \alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!$

$\cos 2\alpha =-1+2\cos ^{2}\alpha \,\!$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

Angeluerdia

$\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!$

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!$

$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

Artikulu hau matematikari buruzko zirriborroa da. Wikipedia lagun dezakezu edukia osatuz.