Eulerren formula

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Eulerren formularen interpretazio geometrikoa.

Eulerren formula, izena Leonhard Eulerren omenez duena, bereziki analisi konplexu arloko matematika-formula bat da, funtzio trigonometrikoen eta funtzio esponentzialen arteko erlazio sakona erakusten duena. (Eulerren identitatea Eulerren formularen kasu berezi bat da). Formula hau da:

,

non :

x zenbaki erreala den;
e logaritmo naturalaren oinarria den;
i unitate irudikaria den;
sin eta cos funtzio trigonometrikoak diren.

Esponentzial konplexuaren eta funtzio trigonometrikoen arteko erlazioa Roger Cotes matematikari ingelesak frogatu zuen lehendabizi 1714an, honela

non ln logaritmo naturala[1] den.

Frogapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eulerren formula aztertzeko berretura-serietan garatzearen ezaguerak behar ditugu. Baliabide handi bat sartuko dugu, asko sakondu gabe, ondorengo kontzeptua dena:

-n zentratutako funtzio analitiko baten Taylorren serietan garapena honela adierazten da:

, non

Garapen kontzeptu hori erabiliz eta hartuz zentroko ingurune batean, honako hau dugu:

konbergentzia-tarteko edozein -rako

denean, aurreko ekuazioan, zenbakiko adierazpena lortzen da, serie infinitu bat bezala:

-ren ordez ordezkatzen badugu, orduan:

Aurreko ekuazioaren () batuketaren lehenengo zatia funtzioaren garapena da eta bigarren zatia -rena Maclaurinen serie batean. Beraz, Eulerren formula izenez ezagutzen den ekuazioa dugu:

modu orokorragoan honela ere idatz daiteke:

.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]