Kalkulu bektorial

Kalkulu bektoriala, edo analisi bektoriala, eremu bektorialen diferentzialei eta integrazioari buruzkoa da, batez ere 3 dimentsioko euklidear espazioan $\mathbb {R} ^{3}.$ "Kalkulu bektoriala" terminoa, batzuetan, aldagai anitzeko kalkuluaren subjektu zabalenaren sinonimo gisa erabiltzen da, bektore-kalkulua eta bereizketa partziala eta integrazio anizkoitza hartzen dituena. Kalkulu bektorialak funtzio garrantzitsua du geometria diferentzialean eta ekuazio diferentzial partzialen azterketan. Fisikan eta ingeniaritzan erabiltzen da, batez ere eremu elektromagnetikoen, grabitate eremuen eta fluidoen deskribapenean.

Kalkulu bektoriala J. Willard Gibbsek eta Oliver Heavisidek XIX. mendearen amaieran egindako quaternion analisitik garatu zen, eta notazio eta terminologia gehiena Gibbsek eta Edwin Bidwell Wilsonek ezarri zuten 1901eko Vector Analysis liburuan. Produktu gurutzatuak erabiltzen dituen forma konbentzionalean, kalkulu bektorialak ez dira dimentsio handiagokoak, eta aljebra geometrikoaren ikuspegi alternatiboak, berriz, kanpo-produktuak erabiltzen ditu (ikus azpi-generalizazioak gehiagorako).

Oinarrizko objektuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eremuak eskalatu[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eremu eskalar batek balio eskalar bat espazio bateko puntu bakoitzarekin lotzen du. Eskalarra zenbaki matematiko bat da, kantitate fisiko bat irudikatzen duena. Aplikazioetan dauden eremu eskalarren adibideak hauek dira: tenperatura espazioan zehar banatzea, presioa fluido batean banatzea, eta spin-zero eremu kuantikoak (bosoi eskalarrak bezala ezagutzen direnak), hala nola Higgs eremua. Eremu hauek eskalarren teoriaren gai dira.

Eremu bektorialak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eremu bektore bat espazio bateko puntu bakoitzari bektore bat esleitzea da. [1] Planoko eremu bektore bat, adibidez, tamaina eta norabide jakin bat duen gezi bilduma bat bezala ikus daiteke planoko puntu bati lotuta. Eremu bektorialak erabiltzen dira, adibidez, fluido mugikor baten abiadura eta norabidea modelatzeko espazioan zehar, edo indar baten indarra eta norabidea, hala nola, indar magnetikoa edo grabitatorioa, puntuz puntu aldatzen baita. Hau erabil daiteke, adibidez, lerro batean egindako lana kalkulatzeko.

Bektoreak eta sasibektoreak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tratamendu aurreratuagoetan, eremu pseudobektorialak eta eremu pseudoskalarrak bereizten dira, eremu bektorialen eta eremu eskalarren berdin-berdinak direnak, salbu eta zeinuz aldatzen badira orientazio-mapa alderantzikatzaile baten pean: adibidez, eremu bektorial baten kurba eremu pseudobektore bat da, eta eremu bektore bat islatzen bada, kurbak kontrako norabidean seinalatzen du. Bereizketa hau aljebra geometrikoan argitzen eta garatzen da, aurrerago deskribatuko dugun moduan.

Algebra bektoriala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kalkulu bektorialeko eragiketa aljebraikoei (ez-diferentzialak) aljebra bektoriala esaten zaie, espazio bektore baterako definituta eta gero eremu bektore bati globalki aplikatuta. Oinarrizko eragiketa aljebraikoak honako hauek dira:

Kalkulu bektorialeko notazioa
Eragiketa	Notazioa	Azalpena
Bektoreen batuketa	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Bi bektore batzea, beste bektore bat lortzeko.
Biderketa eskalarra	$a\mathbf {v}$	Eskalar bat eta bektore bat biderkatzea, beste bektore bat lortzeko.
Biderketa bektoriala	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Bi bektore biderkatzea, beste bektore bat lortzeko.
Biderketa gurutzatua	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Multiplication of two vectors, yielding a scalar. $\mathbb {R} ^{3}$ espazioko bi bektore biderkatzea, (sasi)bektore bat lortzeko.

Maiz erabiltzen dira biderketa hirukoitz biak:

Hiru bektoreren arteko biderketa hirukoitzak
Eragiketa	Notazioa	Azalpena
Biderketa hirukoitz eskalarra	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Bi bektoreren biderkadura gurutzatua beste bektore batekin bektorialki biderkatzea
Biderketa hirukoitz bektoriala	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Bi bektoreren biderkadura gurutzatua beste bektore batekin biderketa gurutzatua

Eragiketa eta teoremak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Operadore diferentzialak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kalkulu bektorialak eremu eskalar edo bektorialetan definitutako hainbat eragile diferentzial aztertzen ditu, eta horiek, normalean, nabla operadorearen ( $\nabla$ ) terminoetan adierazten dira.

Kalkulu bektorialeko eragiketa diferentzialak
Eragiketa	Notazioa	Azalpena	Notazio-analogia	Domeinua/Eremua
Gradientea	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Measures the rate and direction of change in a scalar field.	Biderketa eskalarra	Eremu eskalar batetik eremu bektorial batera
Dibergentzia	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Measures the scalar of a source or sink at a given point in a vector field.	Biderketa bektoriala	Eremu bektorialetatik eremu bektorial batera
Curl	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Measures the tendency to rotate about a point in a vector field in $\mathbb {R} ^{3}$ .	Biderketa gurutzatua	Eremu bektorialetatik eremu sasibektorial batera
$f$ ikurrak eremu eskalar bat adierazten du eta $F$ ikurrak eremu bektorial bat

Laplaceren eragileak maiz erabiltzen dira:

Laplace eragileak lakulu bektorialean
Eragiketa	Notazioa	Azalpena	Domeinua/Eremua
Laplacetarra	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Neurtzen du eremua eskalarraren balioaren eta tarte infinitesimal bateko batezbestekoaren arteko diferentzia.	Eremu eskalarretik eremu eskalarrera.
Bektore laplacetarra	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Neurtzen du eremua bektorialaren balioaren eta tarte infinitesimal bateko batezbestekoaren arteko diferentzia.	Eremu bektorialetik eremu bektorialera.
$f$ ikurrak eremu eskalar bat adierazten du eta $F$ ikurrak eremu bektorial bat

Aplikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Generalizazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

3 manifestu desberdin[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kalkulu bektoriala, hasieran, Euklidean 3-espaziorako definitzen da, $\mathbb {R} ^{3},$ , egitura gehigarria duena, 3 dimentsioko espazio bektore soil bat izatetik haratago, hau da, arau bat (luzeraren nozio bat emanez) barne produktu baten bidez definitua (produktu puntua), zeinak, aldi berean, angeluaren nozio bat ematen duen, eta orientazio bat, ezker-eskuin nozio bat ematen duena. Egitura hauek bolumen forma bat ematen dute, baita gurutzatutako produktua ere, kalkulu bektorialean erabiltzen dena.

Gradienteak eta dibergentziak barne produktua besterik ez dute behar, eta kizkurrak eta gurutzeak, berriz, koordenatu-sistemaren handotasuna ere kontuan hartzea eskatzen dute (ikus produktu gurutzatua eta handotasuna xehetasun gehiagorako).

Bektore-kalkulua 3 dimentsioko beste bektore-espazio erreal batzuetan defini daiteke, baldin eta barne-produktu bat (edo, oro har, forma ez-degeneratu simetriko bat) eta orientazio bat badute; kontuan izan behar da espazio euklidearrerako isomorfismo bat baino datu gutxiago direla, ez baitu koordenatu-multzo bat behar (erreferentzia-marko bat), eta horrek islatzen du kalkulu bektoriala inbariantea dela errotazioen pean (SO (3) talde ortogonal berezia).

Orokorkiago, kalkulu bektoriala hiru dimentsiotara orientatutako Riemanniar multiplold edo, oro har, pseudo-riemanniar multiplold edozeinetan defini daiteke. Egitura honek zera besterik ez du esan nahi, puntu bakoitzeko tangente-espazioak barne produktu bat duela (orokorkiago, forma simetriko ez-degeneratu bat), eta orientazio bat, edo globalkiago, degeneratu gabeko tenkagailu metriko bat eta orientazio bat dagoela, eta kalkulu bektoriala puntu bakoitzeko bektore tangenteen arabera definitzen delako funtzionatzen duela.

Beste dimentsio batzuk[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Emaitza analitiko gehienak erraz ulertzen dira, modu orokorragoan, geometria diferentzialaren makineria erabiliz, kalkulu bektorialak azpimultzo bat osatzen duelarik. Grad eta div beste dimentsio batzuetara orokortzen dira bitartegabe, hala nola gradienteen teorema, dibergentziaren teorema eta laplaciera (analisi harmonikoa eginez), eta produktu kizkurtu eta gurutzatuak, berriz, ez dira bitartegabe orokortzen.

Ikuspegi orokor batetik, kalkulu bektorialeko (3 dimentsiotako) alorrak eremu bektorialak balira bezala ikusten dira uniformeki: eremu eskalarrak 0 bektorialak dira, eremu bektorialak 1 bektorialak, eremu pseudobektorialak 2 bektorialak eta eremu pseudoskalarrak 3 bektorialak. Dimentsio handiagoetan eremu mota gehiago daude (eskalarra/bektoriala/pseudobektorea/pseudoskalarra, 0/1/n). 1/n dimentsioa, 3 dimentsioan sakontzen dena); beraz, ezin da soilik (pseudo) eskalarrekin eta (pseudo) bektoreekin lan egin.

Edozein dimentsiotan, forma ez-endekatua suposatuz, funtzio eskalarraren grad eremu bektoriala da, eta eremu bektorialaren div funtzio eskalarra da, baina soilik 3 edo 7 [3] dimentsioan (eta, hutsalki, 0 edo 1 dimentsioan) eremu bektorialaren kurba eremu bektoriala da, eta 3 edo 7 dimentsiotan bakarrik defini daiteke produktu gurutzatu bat (generalizazioak beste dimentsio batzuetan). 1 n-1 bektoreak bektore bat emateko, edo Lie aljebra alternatiboak dira, produktu bilinear antisimetriko orokorragoak direnak). Grad eta div-en orokortzea, eta nola kurba orokortu daitekeen, Curlen lantzen da: Generalizazioak; labur esanda, eremu bektorial baten kurba eremu bivektore bat da, errotazio infinitesimalen Lie aljebra ortogonal berezi gisa interpreta daitekeena; hala ere, hori ezin da eremu bektore batekin identifikatu, dimentsioak desberdinak direlako: 3 dimentsio daude, baina 6 errotazio 4 dimentsiotan (eta, oro har, n = 1 n). 1) {\text {\binom {n} {2}} = {\frac {1} {2}}} n (n-1)} n dimentsioko errotazioen dimentsioak).

Kalkulu bektorialaren bi generalizazio garrantzitsu daude. Lehenak, aljebra geometrikoak, eremu bektorialak erabiltzen ditu eremu bektorialen ordez (3 dimentsiotan edo gutxiagotan, eremu bektore bakoitza funtzio eskalar edo bektore batekin identifika daiteke, baina hau ez da egia dimentsio handiagoetan). Honek produktu gurutzatua ordezten du, 3 dimentsiokoa, bi eremu bektorial hartuz eta irteera gisa eremu bektore bat emanez, kanpoko produktuarekin, dimentsio guztietan existitzen dena eta bi eremu bektorialetan hartzen duena, irteera gisa eremu bivector bat emanez (2 bektore). Produktu honek Clifforden algebrak ematen ditu egitura algebraiko gisa espazio bektorialetan (orientazio eta forma ez degeneratuarekin). Aljebra geometrikoa fisikaren generalizazioetan eta dimentsio handiagoko beste eremu batzuetan erabiltzen da.

Bigarren orokortzeak forma diferentzialak erabiltzen ditu (k-covector arloak) eremu bektorialen edo bektore-eremuen ordez, eta matematikan oso erabilia da, batez ere geometria diferentzialean, topologia geometrikoan eta analisi harmonikoan, bereziki Hodgen teoria Riemanneko manifoldo sasi-orientatuetan emanez. Ikuspegi honetatik, grad, curl eta div, hurrenez hurren, 0, 1 eta 2 formen kanpo-deribatuari dagozkio, eta kalkulu bektorialaren funtsezko teoremak Stokesen teorema orokorraren kasu berezi guztiak dira.

Bi orokortasun horien ikuspegitik, kalkulu bektorialak matematikoki ezberdinak diren objektuak inplizituki identifikatzen ditu, eta horrek aurkezpena sinpleagoa egiten du, baina azpian dagoen egitura matematikoa eta orokortzea ez hain argiak. Aljebra geometrikoaren ikuspegitik, kalkulu bektorialak eremu bektorialak edo funtzio eskalarrak identifikatzen ditu inplizituki: 0 bektoreak eta 3 bektoreak eskalarrekin, 1 bektoreak eta 2 bektoreak bektoreekin. Forma diferentzialen ikuspegitik, kalkulu bektorialak inplizituki identifikatzen ditu -formak eremu eskalarrekin edo eremu bektorialekin: 0 eta 3 forma eremu eskalarrekin, 1 eta 2 formekin.