Lankide:Iazp/Proba orria

Fisikan erorketa askea soilik grabitate eremuaren eraginez gertatzen den mugimendua deritzo. Askotan errealitatean gertatzen diren erorketei horrela deitzen bazaie ere definizio honen barnean ezin dira sartu, errealitatean gertatzen diren erorketetan mesprezagarriak ez diren erresistentzia aerodinamikoa (edo beste fluxu baten biskositateak sorturikoak) agertzen baita.

Kontzeptua gorantz jaurtitako mugimendu bertikala duten eta grabitate eremuak sorturiko eremuak dezeleraturiko objektuei ere aplikatu daiteke, adibidez tiro bertikal bat. Edo argizagi baten inguruan orbitatzen hari den edozein objektu (satelite natural edo artifizialak, planetak...)

Erorketa askea erreferentzia sistema modura

Erorketa askean dagoen gorputz bati lotutako erreferentzia sistema bat inertziala edo ez inertziala kontsidera daiteke, erabiltzen hari den inguru teorikoaren arabera.

Fisika klasikoan, masa baten gainean eremu grabitatorioak egiten duen indarra, masa kokatzen den tokiko eremu grabitatorioaren intentsitatearekiko proportzionala da. Proportzionaltasun konstantea gorputzaren inertzi masaren balioa da hain zuzen, baliokidetasun printzipioak ezartzen duen modura. Erlatibitatearen teorian, grabitatea espazio-denbora kurbak gorputzen ibilbidearen gainean eragiten duen efektua da; kasu honetan, grabitatea ez da indar bat, geodesika bat baino. Beraz, fisika klasikoaren ikuspegitik, erorketa askean dagoen erreferentzi sistema bat grabitate indarraren ondorioz azeleratua den erreferentzia sistema da, eta ez inertziala. Bestalde, erlatibitatearen teoriaren arabera, erreferentzia sistema bera inertziala da, espazioan azeleraturik baitago ere ez baitago azeleraturik espazio-denboran. Hauen arteko desberdintasuna kontzeptu zinematiko eta geometrikoetan dago, inguru teorikoaren arabera oso desberdinak baitira.

Erorketa aske ideala

Erorketa aske idealean, gorputzaren mugimenduari aurka egiten dion erresistentzia aerodinamikoa mespretxatzen da, hutsean gertatuko litzatekeena aztertuz. Egoera honetan, gorputzak duen azelerazioa soilik grabitate indarrak eragina da, gorputzaren masarekiko independentea; adibidez, kanoi bala bat eta luma bat aldi berean erortzen utziko bagenitu hutsean, biek azelerazio bera eskuratuko zuten,$g$, grabitatearen azelerazioa.

Beraz, uneoro konstantea den grabitate azelerazioak soilik eragindako gorputz (mugikor) batetik abiatuz, dugu:

$-g=konstante$

y ardatza bertikal hartuz eta zentzu positiboa gorantz duelarik, grabitateak sorturiko azelerazioa bertikala eta beheranzko zentzuduna da, horregatik du minusa:

${dv \over dt}=-g$

$dv=-gdt$

$\int _{v_{0}}^{v_{1}}dv=-g\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt$

$v_{1}-v_{0}=-g(t_{1}-t_{0})$

$v_{1}=v_{0}+-g(t_{1}-t_{0})$

mugitzen hari den gorputzak hartzen duen abiadura $v_{1}$ hasieratik zeukan abiadura $v_{0}$ gehi grabitatearen azelerazioak $g$ denboraren ondorioz $(t_{1}-t_{0})$sortua izango da. Beraz $t_{0}=0$:

$v=v_{0}+-gt$

Gorputza geldirik dagoela $v_{0}=0$ erortzen bada, orduan:

$v=-gt$

bere posizioa definitzeko, y kota:

${dy \over dt}=v=v_{0}+-gt$

$dy=(v_{0}+-gt)dt$

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}dy=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(v_{0}+-gt)dt$

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}dy=v_{0}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt-g\int _{t_{0}}^{t_{1}}tdt$

$y_{1}-y_{0}=v_{0}(t_{1}-t_{0})-{\frac {1}{2}}g(t_{1}^{2}-t_{0}^{2})$

$t_{0}=0$ hartzen badugu:

$y=y_{0}+v_{0}t-{\frac {1}{2}}gt^{2}$

Espresio honetan neurriak y ardatzean hartzen direla hartzen da kontutan, zentzu positiboa gorantz delarik, posizioa zein abiadurentzat. Ondorioz, negatiboak izango dira bertikalki beherantz doazen posizio abiadura nahiz azelerazioak.

Mugimenduaren ekuazioa

Newtonen bigarren legea jarraituz, gorputz baten gainean egindako indarra $F$ gorputz horren masa bider hartutako azelerazioaren berdina da. Erorketa askean soilik pisuak $P$(bertikala beherantz) eta marruskadura aerodinamikoak $f(v)$(higiduraren norabide bera, aurkako noranzkoa) hartzen dute parte. Eremu grabitatorio gutxi gorabehera konstante baten barnean, erorketa librearen ekuazioa:

$F=P+f=-mgj-f{\frac {\nu }{v}}=m{dv \over dt}$

Grabitateak sorturiko azelerazioak zeinu negatiboa y ardatza gorantz hartzen delako du.

Ibilbidea erorketa askean

Erorketa aske guztiz bertikala

Gorputz batek erorketa askean duen mugimendua bertikala da handituz doan abiadura batekin (gutxi gorabehera $g$ azelerazioarekin uniformeki azeleraturiko mugimendua; gutxi gorabehera abiadura handitu egiten baita objektuak altuera galtzean eta gehienetan bariazioa mesprezagarria baita). Mugimenduaren ekuazioa altueraren mende idatz daiteke:

$-mg+f=ma_{y}$(1)

non:

$a_{y},v_{i}$, azelerazio eta abiadura bertikalak diren.

$f$, fluxuak mugimenduan eginiko indarra (airea normalean, indarra handitu egiten da abiadurarekin)

• Lehenengo hurbilpenean marruskadura indarra mespretxatzen bada, abiadura moderatua hartzen den gorputz konpaktuekin altuera txikietatik eginiko jaurtiketetan egin daitekeena, (1) ekuazio diferentzialaren soluzioa abiadura eta alturentzat:

Altuera handietarako edo azalera handidun objektuentzako beharrezkoa da fluxuek eragindako erresistentzia dinamikoa kontutan hartzea. Hau, abiadurarekin proportzionala den indar bat aplikatuz gauzatzen da, $k_{w}$ proportzionaltasun konstantea izanik marruskadura aerodinamikoarena

$-mg-k_{w}v_{y}=ma_{y}$(2)

Kasu honetan, denbora eta abiaduraren aldaketak eta ibilitako espazioa (2) ekuazio diferentzialak ematen du:

${\begin{cases}v_{y}=v_{0}e^{-k_{w}t/m}+{\frac {mg}{k_{w}}}(e^{-k_{w}t/m}-1)\\y=h_{0}-m({\frac {mg+k_{w}v_{0}}{{k_{w}}^{2}}})(e^{-k_{w}t/m}-1)\end{cases}}$

Aipatzekoa da kasu honetan abiadura limite bat dagoela, marruskadurak eta erortzen hari den gorputzaren masak baldintzatzen dutena:

$v_{\infty }=\lim _{t\to \infty }v_{y}(t)=-{\frac {mg}{k_{w}}}$

• Fluxu batek eragindako marruskaduraren analisi sakonago bat eginez ikusiko litzateke abiadura handietan gorputzaren inguruko fluxua laminarra ezin dela kontsideratu, turbulentua baizik. Ondorioz, marruskadura indarra abiaduraren karratuarekiko proportzional bihurtzen da:

$ma_{y}=m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg-\epsilon {\frac {C_{d}}{2}}\rho A_{t}{v_{y}}^{2}$(3)

Non:

$C_{d}$, erresistentzia aerodinamikoaren koefizientea da, soilik gorputzaren formaren mende dago.

$A_{t}$, mugimenduaren norabideko gorputzaren zeharkako azalera da.

$\rho$, fluidoaren dentsitatea da.

$\epsilon =sgn(v_{y})$, abiaduraren zeinua da.

Limiteko abiadura erraz kalkula daiteke (3) ekuazioan azelerazioa 0 jarriz:

$v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{C_{d}\rho A_{t}}}}$

(3) ekuazioaren soluzioa analitikoa marruskadura indarraren eta pisuaren zeinu erlatiboaren mende dago. Beraz, soluzioa desberdina da gorantz doan edo erortzen hari den gorputz batentzat. Abiaduraren soluzioa bi kasuetarako:

${\begin{cases}v_{y}(t)={\sqrt {\frac {g}{\alpha }}}\tan(-t{\sqrt {\alpha g}}+\arctan(v_{0}{\sqrt {\frac {\alpha }{g}}}))\epsilon >0\\v_{y}(t)={\sqrt {\frac {g}{\alpha }}}\tanh(-t{\sqrt {\alpha g}}-\arctan h(v_{0}{\sqrt {\frac {\alpha }{g}}}))\epsilon \leq 0\end{cases}}$

Non: $\alpha =C_{d}\rho A_{t}/2m$

Aurreko ekuazioak hasierako altuera eta abiadura nuluko kasurako integratzen baditugu eta jaurtiketa bertikalerako altuera nulutik hasierako abiadura batekin, ondorengo emaitzak lortzen dira gorputzaren altuerarentzat:

Erorketa askea $(v_{y}(0)=0$ eta $y(0)=h_{0})$:

$y(t)=h_{0}-{\frac {1}{\alpha }}\ln[\cosh(-t{\sqrt {\alpha g}})]$

$y=h_{0}$ tik $y=0$ erorketan igaroriko denbora aurreko ekuazioa berrantolatuz lor daiteke:

$t(0)-t(h_{0})={\frac {1}{\sqrt {\alpha g}}}\arccos h(e^{\alpha h_{0}})$

Jaurtiketa bertikala($v_{0}=v_{0}$ eta $y(0)=0$ ):

$y(t)={\frac {1}{\alpha }}\ln[{\frac {\cos[-t{\sqrt {\alpha g}}+\arctan(v_{0}{\sqrt {\frac {\alpha }{g}}})]}{\cos[\arctan(v_{0}{\sqrt {\frac {\alpha }{g}}})]}}]$

Altuera $h_{0}$ abiadura bertikala zero egiten den unekoa bada, jaurtiketatik momentu horretara igarotako denboraren kalkulua:

$t(h_{0})-t(0)={\frac {1}{\sqrt {\alpha g}}}\arctan(v_{0}{\sqrt {\frac {\alpha }{g}}})={\frac {1}{\sqrt {\alpha g}}}\arccos(e^{-\alpha h_{0}})$

Frogatu daiteke gorputz batek airean zehar erortzeko behar duen denbora handiagoa dela gorputz bera altuera horretara jaurtitzeko baino. Honetarako nahikoa da hurrengo desberdintza frogatzea:

$\arccos h(e^{\alpha h_{0}})>\arccos(e^{-\alpha h_{0}})$

Jakinda $\arccos h(e^{\alpha h_{0}})\in (1,+\infty )$ eta $\arccos(e^{-\alpha h_{0}})\in (0,{\frac {\pi }{2}})$

Intuizioz denboren arteko aldea argia da, goranzko jaurtiketan hasierako abiadura handiagoa da eta beraz marruskadura indarra batez beste ere handiagoa da ibilbidean zehar erorketa askean baino.

Erorketa aske paraboliko edo ia-parabolikoa

Gorputz bat erorketa askean erortzen denean baina hasierako egoera geldiunea ez delarik, abiadura nulua ez duelako, orduan gorputzaren ibilbidea ez da zuzen bat izango parabola batera hurbildu daiteken kurba bat baino. Honen ekuazioa koordenatu kartesiarretan:

${dy \over dx}={v_{y} \over v_{x}}$ ${\begin{cases}v_{y}(0)=0\\v_{x}(0)=V_{x}\end{cases}}$ ${\begin{cases}y(0)=h_{0}\\x(0)=0\end{cases}}$ (4)

non x ardatza horizontala den eta y ardatza bertikala.

Abiadura bertikalaren espresioa berridatzi egin beharko da x koordenatuaren arabera $t=x/V_{x}$ dela kontutan hartuz. Ondorengo kasuak bereiz daitezke:

• Marruskadurarik gabe erorketa askea jasaten duen gorputz batentzat, ibilbidea parabolikoa da:

$y(x)=h_{0}-{\frac {gx^{2}}{2V_{x}^{2}}}$

• Aireak sortutako marruskadura kontutan hartzean, ibilbidea ez da guztiz parabolikoa. Adibidez abiadurarekiko proportzionala den marruskadura indar bat (2) ekuazioan bezala dagoenean ibilbidea:

$y(x)=h_{0}-\delta [{\frac {x}{\beta \delta }}-\ln(1-{\frac {x}{\beta \delta }})]$

non:

$\delta =gm^{2}/k_{w}^{2}$

$\beta =V_{x}k_{w}/mg$

Abiaduraren karratuarekiko proportzionala den marruskadura indar batentzat zailagoa da ekuazioen integrazioa. Marruskadura indarra norabide horizontal eta bertikalean elkarrekiko independente aurresuposatuko da eta osagaien karratuekiko proportzional:

${\begin{cases}{dv_{x} \over dt}=-C_{w}v_{x}^{2}\\{dv_{y} \over dt}=+C_{w}v_{y}^{2}-g\end{cases}}$

Ibilbidearen ekuazioa:

$y(x)=h_{0}-\delta \ln[\cosh({\frac {e^{x/\delta }-1}{\beta }})]$

non:

$\delta =1/C_{w}$

$\beta ={\sqrt {g/(C_{w})V_{x}^{2}}}$

Garaiera handietatik erorketa askea

Artikulu nagusia: Orbita

Gutxi gorabehera esferikoa den eremu grabitatorio batean garaiera handitik erorketa askea, lurraren eremu grabitatorioan gertatzen den modura, zuzenketa handiak behar ditu grabitatearen magnitudea eta norabidea ez baitira konstanteak.

Simetria esferikoa duen newtonen grabitate eremurako bereziki, atmosferarekin marruskadura arbuiatu ahal denean ibilbidea elipse baten arkua da.

Hasierako abiadura nulu dun jaurtiketa baten kasuan marruskadura gabe gorputzaren masa zentrotik $M$ distantzia batera $r_{0}$, ibilbidea lerro zuzena da eta erortzen hari den gorputzaren abiaduraren balioa, masak $M$ eragindako eremu grabitatorioaren zentrora dagoen distantziaren arabera:

$v={\sqrt {2GM({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r_{0}}})}}$