Lankide:Lierniortiz/Proba orria

Taza baten eta erroskilla (torua) baten arteko deformazio jarraia, biak homeomorfoak direla adierazten duena. Hala ere, ez da deformazio jarraia behar bi espazio homeomorfoak izan daitezen, nahikoa da bi espazioen artean jarraitua den aplikazio bat existitzea, non bere alderantzizkoa ere jarraitua dena.

Matematikako topologia alorrean, homeomorfismo bat bi espazio topologikoen arteko aplikazio jarraitu bijektibo bat da, alderantzizkoa ere jarraitua duena. Homeomorfismoak espazio topologiko baten propietate topologiko guztiak mantentzen dituen aplikazioak dira. Homeomorfismoan parte hartzen duten bi espazioak homeomorfoak direla esaten da, eta ikuspuntu topologiko batetik biak berdinak kontsideratzen dira. Homeomorfismo hitza grezierako ondoko hitzeteatik dator: ὅμοιος (homoios) = antzekoa edo berdina eta μορφή (morphē) = forma.

Matematika formaletik at, esan dezakegu espazio topologikoa forma geometriko bat dela, eta homeomorfismoa hau luzatzea, uzkurtzea edo tolestea. Horrela, erraz ikus daiteke, zirkulu bat eta karratu bat homeomorfoak direla, baina esfera eta torua ez (ezin izango baitugu inoiz, aurreko ekintzak burutuz, toruaren zuloa lortu esferatik abiatuz, horretarako esfera ebaki eta pegatu beharko baitugu).

Espazio topologikoen artean morfismoak aplikazio jarraituak dira eta homeomorfismoak, aldiz, isomorfismoak, hau da bijektiboak. Gainera, homeomorfismoen konposizioa homeomorfismoa da ere eta h: X → X espazioko homeomorfismo guztiek multzo bat osatzen dute, X-ren homomorfismoen izenaz ezaguna dena eta Homeo(X) adierazten da.

Definizioa

$h:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})$aplikazioa homeomorfismoa dela esango dugu baldin eta ondorengo hiru baldintzak betetzen badira:

1. $h\quad$bijektiboa
2. $h\quad$jarraitua
3. $h^{-1}\quad$jarraitua

Kasu horretan, $(X,\tau _{X}),(Y,\tau _{Y})$bi espazio topologikoak homeomorfoak izango dira.

Homeomorfismoak topologiaren ikuspuntutik baliokidetasun-erlazioak dira. Izan ere, propietate erreflexiboa, simetrikoa eta iragankorra betetzen dituzte. Hauei homeomorfismo klasea deritze.

Adibideak

• $\mathbb {1} :(X,\tau _{X})\longrightarrow (X,\tau _{X})$ homeomorfismoa da.
• $(\mathbb {R} ,\tau _{Y})$epazioan tarte ireki guztiak homeomorfoak dira, hau da, beti egongo da aplikazioren bat tarte batetik bestera pasatzen dena eta aipatutako ezaugarriak betetzen dituena.
• Bola bat eta karratu bat $\mathbb {R} ^{2}$-n homeomorfoak dira. Jarraian adierazten dena da definizioko hiru ezaugarriak betetzen dituen, eta 1 erradioko diskoa eta 1 unitateko karratuaren arteko aplikazio posible bat, koordenatu polarretan:

$(\rho ,\theta )\mapsto (\rho \ \max {\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}},\theta )$

• Funtzio diferentziagarri baten grafoa funtzio horren domeinuari homeomorfoa da.
• Izan bitez X espazio topologiko trikoa, Y Hausdorffen espazioa eta $f:X\rightarrow Y$. Orduan, $f$homeomorfismoa da baldin eta soilik baldin $f$aplikazio jarraitu eta bijektiboa bada. Hau da, ez dago konprobatu beharrik $f$-ren alderantzizkoa jarraitua denik. Hau praktikoki, oso propietate erabilgarria suertatu daiteke.

Ezaugarriak

Izan bedi $h:(X,\tau _{X})\longrightarrow (Y,\tau _{Y})$ aplikazio bijektiboa. Orduan hurrengoak baliokideak dira:

1. h homeomorfismoa da
2. Y ren parte den edozein irekirako bere alderantzizkoa irekia izango da $(X,\tau _{X})$ espazioan
3. Y ren parte den edozein F multzorako, F itxia izango da ς_Y baldin eta soilik baldin bere aurreirudia itxia baldin bada ς_X -n.
4. X ko edozein A azpimultzorako itxituraren irudia irudiaren itxituraren berdina izango da.
5. X ko edozein A azpimultzorako barrualdearen irudia irudiaren barrualdearen berdina izango da.

Homeomorfoak diren bi espazio propietate topologikoak mantentzen dituzte. Adibidez jatorrizko espazioa konexua baldin bada irudia ere konexua izango da. Gauza bera trinkotasunarekin, hau da, jatorriko espazioa irekien kopuru finitu batekin estal badaiteke, orduan irudiko espazioa ere irekien kopuru finitu batekin estali ahalko da. Are gehiago batzuetan zailegia da erakustea ez dela existitzen bi espazioak erlazionatzen dituen homeomorfismo bat. Horrelako kasuetan, gomendagarria izaten da komunean ez duten propietate topologiko bat aurkitzea, homeomorfoak ez direla bermatuz.

Topologia bat beste bat baino finagoa izatea

Izan bitez $\beta _{1}$eta $\beta _{2}$ $X$-ren gaineko bi ireki-oinarri eta $\tau _{\beta _{1}},\tau _{\beta _{2}}$ sortzen dituzten topologiak, hurrenez hurren. Orduan, esaten da $\beta _{1}\ \ \beta _{2}$ baino finoagoa dela $\tau _{\beta _{2}}\subseteq \tau _{\beta _{1}}$ denean. Biek topologia bera sortzen badute berriz, $\beta _{1}$ eta $\beta _{2}$ baliokideak direla esango dugu.

Proposizioa

$\beta _{1}\ \beta _{2}\ baino\ finagoa\ da\ \left(\tau _{\beta _{2}}\subseteq \tau _{\beta _{1}}\right)\Leftrightarrow \forall B\in \beta _{2},\forall x\in B,\exists D\in \beta _{2}:x\in D\subseteq B$

Beste modu batean esanda, $\beta _{1}$ $\beta _{2}$baino finagoa izango da $\beta _{2}$-ko edozein irekitako edozein puntu hartuta $\beta _{1}$-eko elementu bat existitzen bada x barruan duena eta $\beta _{2}$-ko ireki horretatik ateratzen ez dena.

Adibidea

Adibidez, ohiko topologia eta Sorgenfreyren topologia hauek izanik, hurrenez hurren, $\beta _{u}=\left\{(a,b):a<b\ eta\ a,b\in \mathbb {R} \right\}$, $\beta _{SOR}=\left\{[a,b):a<b\ eta\ a,b\in \mathbb {R} \right\}$, nabaria da ohiko topologiako tarte bateko edozein puntu hartuz beti aurki dezakegula Sorgenfreyren topologiako irekiren bat puntu hori estaltzen duena eta aldi berean ohiko topologiako tartearen barruan dagoena. Aldiz, alderantziz aztertuz, Sorgenfreyren topologiako $[a,b)$ tartea izanik eta $x=a$ puntuko ohiko topologiako edozein ireki bilatzen badugu beti aterako gara $[a,b)$ tartetik. Beraz $\beta _{SOR}$ $\beta _{u}$ baino finoagoa izango da.

Oinarrien inguruko teoremak

• Izan bitez $\beta _{1}\ ,\ \beta _{2}\ ,...,\beta _{n}$ $\tau _{1}\ ,\ \tau _{2}\ ,...,\tau _{n}$ topologien ireki-oinarriak hurrenez hurren, orduan $\beta _{1}\ \times \ \beta _{2}\ \times \ ...\times \ \beta _{n}$ biderkadura kartesiarra $\tau _{1}\ \times \ \tau _{2}\ \times \ ...\times \ \tau _{n}$ -ren ireki-oinarria da. Biderakdura infinitua den kasuetan ere betetzen da hau (except that all but finitely many of the base elements must be the entire space.)
• Izan bedi $\beta$ X-ren ireki-oinarria eta Y bere azpiespazioa. $\beta$-ko elementu bakoitzaren eta Y-ren arteko ebakidura eginez gero, lortutako multzoen familia Y-ren ireki-oinarria izango da.
• X-ren azpimultzoen familia X-ren gaineko topologia da baldin eta soilik baldin bere buruak sortzen badu.
• $\beta$ X-ren ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin if the subcollection of elements of B which contain x form a local base at x, for any point x of X.

Ingurune-oinarriak (MEREZI DO SARTZEA???)

Topologiako oinarrien artean ingurune-oinarriak daude, puntu baten inguruneek osatzen duten familiaren oinarria hain zuzen. Behin espazio bateko ingiruneak ezagutzen ditugula, ?_x x? X edozein punturako ingurune oinarria izango da hurrengo baldintzak betetzen baldin baditu: i)x puntuko ingurune oinarria, x puntuko inguruneen familiarenparte izan behar da. ii)x-en N ? N_x edozein ingurunerako existituko da B??_xingurune oinarriko multzo bat non x ? B ? N. Aldiz topologia ezezaguna baldin bada gure inguruneen familia topologiaren baten ingurune oinarria izango da baldin eta hurrengo hiru propietateak betetzen baditu: i)B??_x edozein multzorako, x ? B izango da. ii)?_x ko edozein bi multzorako existituko da hirugarren bat aurrekoen ebakiduraren parte dena. Hau da b₁,b₂??_x badira, b₃??_x existituko da non b₃ ? b₁nb₂. iii)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!HAU EZ DAKIT NOLA IDATZI!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Oinarriko edozein B multzorako existituko da beste D multzo bat B ren parte dena eta edozein Dko y-rako eta bere edozein x punturako

Azpioinarriak

Izan bitez $(X,\tau )$espazio topologiakoa eta $\sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$, esaten da $\sigma \ \ \ \tau$-ren azpioinarria dela $\beta _{\tau }=\left\{\sigma -ren\ elementuen\ ebakidura\ finitu\ guztiak\right\}$familia, $\tau$-ren ireki-oinarria bada.

Adibideak

1. $\sigma =\left\{(-\infty ,a),(b,\infty ):a,b\in \mathbb {R} \right\}$familia ohiko topologiaren azpioinarria da.
2. $\sigma =\left\{(-\infty ,a],[b,\infty ):a,b\in \mathbb {R} \right\}$familia topologia diskretuaren azpionarria da.
3. Topologia guztiak bere buruaren azpionarri dira.

Proposizioa

Ireki-oinarriekin gertatzen zen moduan, hemen ere interesgarria da $X$ multzoa eta $\sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$familia baditugu, $\sigma$familiak topologiaren baten azpioinarria izan dadin ze baldintza bete behar dituen ikustea. Kasu honetan, baldintza bakarra bete beharko du horretarako:

$$\bigcup _{S\in \sigma }S=X$$

Baldintza hau betetzen duen $\sigma$familiak topologia berri bat sortuko du. Lehenengo $\sigma$-tik abiatuz, $\beta _{\sigma }=\left\{S_{1}\cap ...\cap S_{n}:n\in \mathbb {N} ,\ S_{1},...,S_{n}\in \sigma \right\}$familia osatuko dugu. Honek, beti beteko ditu topologiaren baten ireki-oinarria izateko baldintzak, eta beraz sortutako topologia ondokoa izango da:

$$\tau _{\beta _{\tau }}=\left\{U\subseteq X:\forall x\in U,\exists B\in \beta _{\sigma }:x\in B\subseteq U\right\}$$