Malda (geometria)

Malda geometrikoa matematika eta zientzia aplikatuetan, zuzen baten malda zuzen horren inklinazioa eta norabidea deskribatzen duen zenbakia da^[1]. Orokorrean, zuzen baten malda m letraz izendatzen da. Malda kalkulatzeko zuzen baten edozein bi punturen arteko aldaketa bertikala eta aldaketa horizontalaren proportzioa kontuan hartu behar da.

Zuzen baten inklinazioa maldaren balio absolutuarekin neurtzen da. Zenbat eta handiagoa izan maldaren balio absolutua, zuzenak orduan eta inklinazio handiagoa izango du. Bestalde, zuzenaren norabidea goranzkoa, beheranzkoa, horizontala edo bertikala izan daiteke:

Zuzen batek goranzko norabidea izango du, ezkerretik hasita, eskuinera gorantz badoa. Kasu honetan maldak balio positiboa du.
Zuzen batek beheranzko norabidea izango du, ezkerretik hasita, eskuinera beherantz badoa. Kasu honetan maldak balio negatiboa du.
Zuzen bat horizontala bada, maldak 0 balio du.
Zuzen bat bertikala bada, maldak balio indeterminatua du.

Matematikan, planoan deskribatzen den zuzen baten bi puntu ezagun badira, malda honela kalkulatzen da:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}$

non Δy zuzenaren aldaketa bertikala den eta Δx zuzenaren aldaketa horizontala.

Geometria analitikoan, malda zuzen baten ekuazioan azaltzen da; kasu partikular horretan, kurba baten zuzen ukitzailea da malda . Zuzen ukitzaile hori funtzioaren deribatua da kontsideratutako puntuan eta parametro garrantzitsua da, adibidez, errepideen, burdinbide edo kanalen trazaketa altimetrikoetan.

Inklinazio angelua

α angelua zuzenak OX ardatzarekiko duen inklinazio-angelua da. Inklinazio-angeluaren tangentea (trigonometrikoa) zuzenaren koefiziente angeluarra da eta normalean k letrarekin izendatzen da. Beraz:

$k=\tan(\alpha )$

Koefiziente angeluarrak eta maldak esanahi geometriko berbera dute. Koefiziente angeluarra eta jatorrizko ordenatua agertzen diren ekuazioan, $y=kx+b$ , k koefiziente angeluarra da eta b jatorrizko ordenatua^[2].

Zuzen baten malda

Irudikapen angeluzuzena (koordenatu kartesiarra) duen sistema baten azaltzen den zuzenaren malda m letraz adierazten da. Malda hori zuzen baten bi puntu ezberdinetako Y ardatzeko kendura zati X ardatzeko kendura bezala definitzen da. Ekuazioa hau da:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}$

Adibideak

Demagun bi puntu hauetatik pasatzen den zuzena: P = (1,2) eta Q = (13,8). Aurreko formula kontuan hartuta, Y ardatzeko puntuen koordenatuen kendura zati X ardatzeko puntuen koordenatuen kendura eginez, malda kalkula dezakegu:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}={8-2 \over 13-1}={6 \over 12}={1 \over 2}$

Malda positiboa denez, zuzenak goranzko norabidea dauka. Maldaren balioa |m|<1 denez, zuzenak ez du horizontalarekiko inklinazio handirik (45º baino gutxiago).

Beste adibide honetan demagun bi puntu hauek direla ezagunak: P = (4,15) eta Q = (3,21). Beraz, zuzenaren malda honakoa izango da:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}={21-15 \over 3-4}={6 \over -1}=-6$

Malda negatiboa denez, zuzena beheranzkoa da. |m|>1 denez, zuzenaren inklinazioa horizontalarekiko handia da (45º baino gehiago).

Geometria

Zuzen horizontal baten malda 0 (zero) da. Zenbat eta txikiagoa izan maldaren balioa, orduan eta inklinazio txikiagoa izango du zuzenak; adibidez, X ardatzarekiko 45º goratzen den kurbak $m=+1$ malda bat dauka. Bestalde, 30º beheratzen den kurba batek $m=-0,5$ malda dauka. Zuzen bertikal baten malda ez dago definituta edo infinitua dela esaten da.

Zuzen batek horizontalarekin osatzen duen θ angelua maldarekin (m) erlazionatuta dago erlazio trigonometriko honen bidez:

$m=\tan(\theta )$

edo baliokidez:

$\theta =\arctan(m)$

Bi zuzen edo gehiago paraleloak dira malda berdina badute; era berean, biak bertikalak badira, horiek ere malda berdina dute, baina haien malda ez dago definituta. Bi zuzen edo gehiago perpendikularrak dira (angeluzuzena osatzen dute bien artean) haien malden arteko biderkadura -1 bada.

Puntu-malda ekuazioa

y, x-en funtzio lineal bat bada, x koefizientea zuzenaren malda da. Beraz, ekuazioa modu honetan definitzen bada:

$y=mx+b$

m malda da. Ekuazio honetan b-ren balioa, zuzenak Y ardatza ebakitzen duen puntu modura uler daiteke. b balio honi jatorrizko ordenatua ere deitzen zaio.

Zuzen baten malda eta zuzenaren puntu bat ezagunak badira, zuzenaren puntu-malda ekuazioa honela definitzen da:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

Formula orokorra badaukagu:

$Ax+By+C=0$

maldaren balioa honakoa da:

$m=-{A \over B}$

Adibideak

Demagun bi puntu hauetatik igarotzen den zuzena: P = (2,8) eta Q = (3,20). Zuzenaren malda honakoa da:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}={20-8 \over 3-2}={12 \over 1}={12}$

Beraz, zuzenaren puntu-malda ekuazioa honela idatzi dezakegu:

$y-8=12(x-2)=12x-24$

edo:

$y=12x-16$

Zuzen honek OX ardatza horizontalarekiko duen angelua honakoa da:

$\theta =\arctan(12)\approx$ 85,2º.

Kontsidera ditzagun bi zuzen hauek: $y=-3x+1$ eta $y=-3x+2$ . Bi zuzenek $m=-3$ malda dute. Ez dira zuzen berdinak. Beraz, zuzen paraleloak dira.

Kontsidera ditzagun beste bi zuzen hauek: $y=-3x+1$ eta $y={x \over 3}-2$ . Lehenengo zuzenaren malda $m_{1}=-3$ da. Bigarren zuzenaren malda $m_{2}={1 \over 3}$ da. Bi malda hauen arteko biderkadura -1 da. Beraz, zuzenak perpendikularrak dira.

Propietateak

Bi zuzen ezberdin baditugu eta horien k₁ eta k₂ koefiziente angeluarrak ezagunak badira, bi zuzenek osatzen duten μ angelua honela definitzen da:

$\tan \mu ={k_{2}-k_{1} \over 1+k_{1}k_{2}}$

Bi zuzen paraleloak badira haien koefiziente angeluarrek erlazio hau dute

$k_{1}=k_{2}$

Bi zuzen perpendikularrak badira haien koefiziente angeluarrek erlazio hau dute:

$k_{1}k_{2}=-1$ edo $k_{2}=-{1 \over k_{1}}$ ^[3]

$y=kx+b$ ekuazioan, k konstante mantentzen bada eta b bakarrik aldatzen bada, koefiziente angeluar berdina duten zuzenen bidez plano osoa bete daiteke.

Kalkulua

Maldaren kontzeptua ezinbestekoa da kalkulu diferentzialean. Linealak ez diren funtzioetan kurbaren norabidea aldakorra da. Funtzio baten deribatua puntu batean zuzen ukitzailearen malda da kontsideratutako puntuan eta malda honek kurbaren norabide-aldakuntza adierazten du.

Δx eta Δy bi punturen arteko distantziak badira, (x eta y ardatzean zehar hurrenez hurren) malda, aurreko definizioa ikusita, honela lortzen da:

$m={\Delta y \over \Delta x}={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}$

Malda hau kurbaren zuzen ebakitzailearena (zuzen sekantea) da kontsideratutako puntuetan. Zuzen batean edozein bi punturen zuzen ebakitzailea zuzena bera da baina hori ez da betetzen beste edozein kurba kontuan hartuta.

Kontsideratutako bi puntuak hurbiltzen baditugu haien arteko Δx eta Δy distantziak murriztuz, ikus daiteke zuzen ebakitzailea zuzen ukitzailea (zuzen tangentea) izatera hurbiltzen dela eta aldi berean ebakitzailearen maldak, ukitzailearen maldaren balioa hartzeko joera duela. Kalkulu diferentziala erabiliz, limitea determinatu dezakegu, edo Δy/Δx erlazioak hartzen duen balioa, Δy eta Δx zerora hurbiltzen direnean. Limite honen emaitza zuzen ukitzailearen malda da. Gainera, y, x-rekiko independentea bada, nahikoa da Δx zerora hurbiltzen den limitea hartzea. Beraz, zuzen ukitzaile baten malda Δy/Δx-ren limitea da Δx zerora hurbiltzen denean. Limite horri deribatua deitzen zaio.

${dy \over dx}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}$

Deribatuaren bidez, zuzen ukitzailearen malda lor dezakegu kontsideratutako puntuan. Adibidez, demagun $y=x^{2}$ funtzioa eta funtzio honen puntu bat (-2,4) da. Funtzio horren deribatua ${dy \over dx}=2x$ da. Beraz, zuzen ukitzailearen malda (-2,4) puntuan -4 da. Aldi berean, zuzen ukitzaile honen ekuazioa hau da: $y-4=-4(x+2)$ .

Erreferentziak

↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. p. 348. Archived from the original (PDF) on 29 October 2013. Retrieved 1 September 2013.
↑ D. Kleténik. Problemas de geometría analítica. Ediorial Mir, Moscú (1968)
↑ Kleténik. Op. cit.

Kanpo estekak

Datuak: Q275447

[1] Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). "Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Gradient" (PDF). Addison-Wesley. p. 348. Archived from the original (PDF) on 29 October 2013. Retrieved 1 September 2013.

[2] D. Kleténik. Problemas de geometría analítica. Ediorial Mir, Moscú (1968)

[3] Kleténik. Op. cit.

[1]

[2]

[3]