Pascalen hirukia

Matematikan, Pascalen triangelua edo Tartagliaren triangelua konbinatorian eta binomioen berreketen garapenean erabiltzen diren koefiziente binomialak hiruki moduan antolatu eta era ordenatu batean erakusteko modua da, hau da, kobinazio-zenbakiek osatzen duten triangelu infinitua.

Blaise Pascal frantses matematikariaren izena darama, hark sartu baitzuen 1654an, bere Hiruki Aritmetikoaren Tratatuan^[1]. Hala ere, nahiz eta lehenago India eta Txinako antzinako zibilizazioetan eta beste munduko zibilizazio batzuetan ezaguna izan, bera izan zen bere erabilera asko garatu zituena eta informazioa era ordenatuan eta bateratuan plazaratu zuena.

Txinan, triangelu hau XI. mendetik ezagutzen zuen Jia Xian matematikari txinatarrak (1010 – 1070). XIII. mendean, Yang Huik (1238 – 1298) triangelu aritmetikoa aurkeztu zuen, Pascalen triangeluaren baliokidea, horregatik Txinan Yang Huiren triangelua deitzen zaio.

Historia

Koefiziente binomialen triangelu baten lehen irudikapen esplizitua X. mendekoa da, Chandas Shastraren iruzkinetan, sanskritoaren prosodiazko antzinako liburu bat, Pingalak K. a. 200. urte inguruan idatzia.

Triangeluaren propietateak Al-Karaji matematikari persiarrek (953 – 1029) eta Omar Khayyamek (1048 – 1131) eztabaidatu zituzten; horregatik da ezaguna Iranen Khayyam-Pascal triangelua edo, besterik gabe, Khayyam triangelua. Horrekin lotutako teorema asko ere ezagutzen ziren, binomioaren teorema barne.

Txinan, triangelua hau ezaguna zen Jian Xian matematikariari esker XI.mendetik aurrera. XIII.mendean, Yang Huik aritmetikan oinarritutako triangelu bat ezagutzera eman zuen, Pascalen triangeluaren baliokidea dena. Horren ondorioz, Txinan traingeluari Yang Huien traingelua deritzo.

Hala ere, hirukiaren izena Blaise Pascalek 1954. urtean argitaratutako Traité du triangle arithmétique liburutik eratorria da. Tratatu honek triangeluari buruzko emaitzak ezagutzera ematen zituen, eta hauek baliatuz probabilitaren teoriaren inguruko problemak ebatzi zituen. Era berean, probabilitatearekin lotuta 19 propietate frogatu zituen bertan. Propietateak frogatzeko matematikari frantziar honek indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, triangeluaren eta binomioaren arteko erlazioa frogatu zuelarik. Pierre Raymond Montmort (1708) eta Abraham de Moivre izan ziren hirukiari gaur egun duen izena jarri zioetenak: "Konbinazioetarako Pascalen taula" eta "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", azkenengo hau gaur egun erabiltzen dena da.

Eraketa

Pascalen hirukia beheko irudian agertzen den ereduari jarraituz eraikitzen da. Gailurretik hasten da « 1 » zenbakiarekin eta beherantz jarraitzen du zuhaitz eran. Ilaratan sailkatzen da, zero hilaratik hasita. Gainera, argazkian ikus daitekenez, errenkada bakoitzeko koefizienteak batu eta emaitza azpiko errenkadara eramanez eratzen da.

Erabilera orokorra

Triangelu hau binomien berreketak garatzeko asmatu zen. Binomioen potentziak formula honen bidez ematen dira: ${\bigl (}a+b{\bigr )}^{n}$ non a eta b edozein aldagai dira eta n berretzailea. Formula horri Newtonen binomioa deritzo.

Newtonen binomioaren formula honek Pascalen hirukiaren errenkada bakoitzaren koefizienteak garatzen ditu, horren ondorioz dago lotura estua Pascalen triangeluaren eta Newtonen binomioen artean.

Pascalen hirukiaren eta Newtonen binomioaren arteko lotura

Triangeluaren errenkada bakoitzean idatzitako zifra guztiak Newtonen binomioaren potentzien garapenaren koefizienteei dagozkie. Hona hemen portaera hori deskribatzen duten seriearen adibide batzuk:

${\bigl (}a+b{\bigr )}^{2}=1a^{2}+2ab+1b^{2}$

${\bigl (}a+b{\bigr )}^{3}=1a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1b^{3}$

Adibide horiekin ondorioztatzen da adierazpen orokorraren seriea honako hau dela:

$(x+y)^{n}=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\cdots +ab^{n-1}+b^{n}$

Modu honetan, ${\bigl (}a+b{\bigr )}^{n}$ formulan garatutako koefizienteak Pascalen hirukiaren n+1 errenkadan daude.

Konbinatoria Pascalen hirukian

Hirukiaren eraketa lotuta dago Pascalen erregelaren araberako koefiziente binomialekin. Formula edo erregela horrek azaltzen du hirukiaren errenkada jakin baten koefizienteak (zuhaitzaren nodoak) konbinazio bidez kalkula daitezkela ${n \choose k}$ non $n$ errenkada -1 da eta $k$ posizioa errenkadan.

Beraz, konbinatoriaren eta Pascalen hirukiaren arteko korrelazio proposamena lehen aipatutako Pascalen erregelak edo formulak ematen du.

Propietateak

**Pascalen hirukia** errenkada bakoitzeko koefizienteak binaka batu eta emaitza azpiko errenkadara eramanez eratzen da.

Triangeluaren buruan dagoen « 1 » zenbakitik hasten diren diagonal guztiek 1 balio dute.
Triangeluaren errenkada bakoitzeko balioek simetria gordetzen dute haren ardatz bertikalerako.
Hirukitik kanpoko eremuari dagozkion balioek 0 balio dute, izan ere, ${n \choose p}=0$ , $p>n$ denean.
Eraketan koefiziente binomialen propietate hau hartzen da kontuan, errenkadaz errenkada hirukia osatzen laguntzen duena:

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

Beste interpretazio edo antzezpen batzuk

Zenbaki lehenak

Pascalen triangeluaren gaineko propietate batek adierazten du errenkada bateko lehen elementua («1» zenbakiak kontuan hartu gabe) zenbaki lehena bada, orduan errenkadako gainerako elementu guztiak berak zatitu ahal izango dituela.

Adibidea:

${\text{11.errenkadan }}\rightarrow 1\quad 11\quad 55\quad 165\quad 330\quad 462\quad 462\quad 330\quad 165\quad 55\quad 1$

55, 165, 330 eta 462 zenbakiak 11z zatitu daitezke.

Fibonacciren segida

Pascalen triangeluan erlazio bat ikus daiteke diagonalak batzeko modu baten eta Fibonacciren segidaren artean. Ondorengotza honen lehen terminoak hauek dira: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.

Goian, eskuineko irudian ikus daitekeen bezala, diagonalen batuketa jarraituek goitik eskuinera ezkerrera osatzen dute Fibonacciren segida.