Newtonen binomio

Wikipedia, Entziklopedia askea

Matematiketan, Newtonen binomioa edo binomioaren teorema, binomio baten n-garren berretura, , konbinazio-zenbakien bidez kalkulatzeko erabiltzen den teorema da. Formula honek ahalbidetzen du berreketaren hedapena eran, non berretzaileak dira betetzen dutenak, eta termino bakoitzaren (zenbaki naturala) eta -ren dependentea dena.

Teorema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Teorema honek definitzen du edozein binomioaren berreketak heda daitekeela gehiketa bategaz era honetan:


non koefiziente binomiala honela definitzen den: .

Kenketa baten berreketaren hedapena adierazteko, hartu behar da -ren ordez berreketa bakoitietan era honetan:

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • bada:
  • bada:
  • bada:

Binomioaren teorema orokorra (Newton)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Isaac Newtonek orokortu zuen Binomioaren teorema berretzaile errealetarako, serie infinitu batekin adierazita:

, , non

Teorema Multinomiala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Binomioaren teorema orokortu daiteke bi batugai baino gehiagoren arteko -garren berreketak barneratzeko, modu honetan adierazita:

, non koefiziente multinomialak dira.

Aplikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angelu anizkoitzen identitateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuetarako, binomioaren teorema Moivre Formularekin konbina daiteke, sinu eta koseno funtzioetarako angelu anitzeko identitateak emateko. De Moivre formularen arabera:

Binomioaren teorema erabiliz, eskuineko aldearen adierazpena hedatua izan daiteke eta, ondoren, zati errealak eta irudimenezkoak angelu anizkoitzen formulak lortzeko ateratzen dira. Izan ere:

Berdintasun hori De Moivreren formularekin alderatuz gero, argi dago:

Horiek dira angelu bikoitzaren ohiko identitateak.

Antzera:

De Moivreren formularen enuntziatuarekin alderatuz, emaitzaren zati errealak eta irudikariak bereiztean:

Orokorki,


eta

Seriea -rentzako:[aldatu | aldatu iturburu kodea]

zenbakia ekuazio honen bidez definitzen da:

Adierazpen horri binomioaren teorema aplikatuz, -rako serie infinitua lortzen dugu. Bereziki:

Hau da batura horren k-garren terminoa:

zenbakiak infinitura jotzen duenez , eskuinean dagoen adierazpen arrazionala 1era hurbiltzen da:

Eta, beraz, n infinitura jotzen duenean, k-garren termino bakoitza honetara mugatzen da:

Horrek adierazten du serie infinitu gisa idatz daitekeela :

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Isaac Newtoni egotzia, teorema Al-Karjík aurkitu zuen lehen aldiz 1000. urte inguruan. John Wallisen interpolazio eta estrapolazio metodoak arazo berrietara aplikatuz, Newtonek espresio polinomiko bat serie infinitu bihurtzen zuten adierazle orokortuen kontzeptuak erabili zituen. Horrela frogatu ahal izan zuen lehendik zeuden serie asko kasu partikularrak zirela, bai bereizketaz, bai integrazioz.

1664ko eta 1665eko neguan, Newtonek, Lincolnshiren bere etxean zegoenak, hedapen binomiala hedatu zuen n zenbaki arrazionala den kasuan eta hurrengo udazkenean, adierazlea zenbaki negatiboa denean. Bi kasuetarako aurkitu zen esamolde erresultantea termino amaigabeen serie bat zela.

Adierazle negatiboen kasuan, Newtonek Pascalen Triangeluaren forma mailakatua erabili zuen, Michael Stifel matematikari alemaniarrak bere Arithmetica Integra lanean azaldu zuena:

Arithmetica Integra.svg

Forma honen azpian erraz ikusten da, j-garren elementuaren eta (j-1) -errengloi baten hamargarren elementuaren baturak azpian dagoen lerroaren j-garren elementua ematen duela emaitza gisa. Newtonek taula hau gorantz luzatu zuen, lerro batean j-garren elementuaren eta (j-1) rengloiaren -aurrekoaren gainetik dagoen elementuaren arteko aldea aurkituz, emaitza goiko lerro horren j-garren elementu gisa jarriz. Horrela, taula berri hau lortzeko gai izan zen:

Newtonen binomia.svg

Zenbaki-serieak amaierarik ez zuela ohartzean, Newtonek ondorioztatu zuen adierazle oso negatibo batentzat seriea infinitua dela adierazten duena; izan ere, batuketak (x+y) binomioa (1+x) adierazten bazuen, lortutako emaitza baliozkoa da x -1 eta 1 artean badago. N zenbaki arrazionala bada, lortutako patroia aztertuta, Newtonek koefiziente binomialak lortu ahal izan zituen 2/frakzio bakoitzeko. Kasu horretan, n = 1/2 bada, koefizienteak 1, -1/2, 1/8, -5/128 eta abar dira, eta Newtonek egiaztatu ahal izan zuen 1/2rako hedapena biderkatuz gero, berez, n = 1 kasua lortuko zuela.

Aurkikuntza horretatik aurrera, Newtonek intuizioa izan zuen amaigabeko serieekin lan egin zitekeela, adierazpen polinomiko finituekin bezala. Newtonek ez zuen inoiz teorema hau argitaratu. Wallisek egin zuen lehen aldiz 1685ean Algebran, aurkikuntza hau Newtoni egotziz. N = 2rako teorema binomikoa Euklidesen Elementuetan dago (300 a. C) eta «koefiziente binomial» terminoa Stifelek sartu zuen.

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]