Reissner eta Nordströmen metrika

Fisika eta astronomian, Reissner eta Nordström-en metrika Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. M masa estatiko, q karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean.

Metrika

Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

$G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu },$

non $T^{\mu \nu }$ energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

$T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,$

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

$R^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }.$

Gainera, $F_{\mu \upsilon }$ Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu

$\nabla _{\mu }F^{\mu \alpha }=0,$

$\partial _{[\mu }F_{\nu \rho ]}.$

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez (t,r,θ,Φ) koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

$ds^{2}=-A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},$

non $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\varphi ^{2}$ angelu solidoaren infinitesimala den.

$F_{\mu \nu }=E(r){\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},$

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz

$E=K{\frac {\sqrt {AB}}{r^{2}}}.$

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan $A,\ B\rightarrow 1,$ eta $E={\frac {K}{r^{2}}}.$ q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero $K=q$ aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, $A''$ ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean $AB'+A'B=(AB)''=0$ dago. Ondorioz $AB=konst$ eta infinituan $AB\rightarrow 1$. Beraz, r guztietarako,

$B={\frac {1}{A}}.$

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

$A=1-{\frac {\tilde {K}}{r}}+{\frac {Gq^{2}}{c^{4}r^{2}}}.$

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r_{S}}{r}}+{\frac {r_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},$

non $r_{S}={\tilde {K}}={\frac {8\pi G}{c^{2}}}$ Schwarzschilden erradioa eta $r_{q}^{2}\equiv {\frac {Gq^{2}}{c^{4}}}$ diren, $q$ gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota $r_{q}$) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu $r_{s}/r\rightarrow 0$ limitean. $r_{s}/r\rightarrow 0$ eta $r_{q}/r\rightarrow 0$ limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.

Masa r koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.

$M(r)=M-Q^{2}/2r$

Horizonteak

Izan bedi hurrengo koefizientea;

$A=1-{\frac {2m}{r}}+{\frac {q^{2}}{r^{2}}}={\frac {Q}{r^{2}}}$

non

${\frac {Q}{r^{2}}}=r^{2}-2mr+q^{2}.$

Q kuadratikoaren diskriminantea $\Delta =m^{2}-q^{2}$ da.

$m^{2}-q^{2}<0$

Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da r-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela gertaeren mugarik. Ondorioz, singularitate bakarra $r=0$ jatorrian dago eta biluzia dela esaten da. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen q karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.

$d\theta =d\varphi =0$ planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:

$ds^{2}=0\rightarrow c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1},$

$ct=\pm [r-{\frac {2r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}arctan{\frac {2r-r_{s}}{\sqrt {4r_{q}^{2}-r_{s}^{2}}}}+{\frac {r_{s}}{2}}ln{\frac {r^{2}A}{r_{s}^{2}}}]+K$

$m^{2}-q^{2}>0$

Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;

$r_{\pm }=m\pm {\sqrt {(m^{2}-q^{2})}}$

$c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1}=\pm {\frac {r^{2}}{(r-r_{+})(r-r_{-})}},$

$ct=\pm [r+{\frac {r_{+}^{2}}{r_{+}-r_{-}}}ln|{\frac {r}{r_{+}}}-1|-{\frac {r_{-}^{2}}{r_{+}-r_{-}}}ln|{\frac {r}{r_{-}}}-1|]$

Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

$ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$

• I eremua, $r_{+}<r<\infty :$ $r=r_{+}$gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu.
• II eremua, $r_{-}<r<r_{+}:$ eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek $r=r_{-}$ gainazala zeharka dezakete.
• III eremua, $0<r<r_{-}:$ eremu hau ez da zertan $r=0$ singularitatera iritsi behar.

$m^{2}-q^{2}=0$

Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den, $r=r_{+}=r_{-}=r_{s}/2$ gertaeren-horizontean izan ezik, r koordenatua espazio motakoa da. $r=r_{+}$ puntua Schwartzilden $r=2m$ kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;

$ct=\pm [r+{\frac {rr_{s}}{r_{s}-2r}}+r_{s}ln\left\vert 1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right\vert ]+K$

eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

$ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}$

Denboraren zabalkuntza grabitazionala

Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

$\gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},$

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.$

Christoffel-en ikurrak

Christofellen ikurrak

$\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)\qquad \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}$

hurrengo adierazpenak dakarzkite

${\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.

Higidura ekuazioak

Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, θ erabiliko dugu φ-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan $G=M=c=K=1$ q kargako partikula baten higidura

${\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}$

da eta ondorioz,

${\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}$

${\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}$

${\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.$

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, ${\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}.$

Higidura konstanteak $S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})$-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,

${\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

$S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.$

${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

$S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }}.$

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da

${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0$

$S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.$

$S_{2}$ eta $S_{3}$, $S_{1}$-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

$c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$

Berriro ere $S_{2}$-rekin biderkatuz eta integratuz

$c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

$\gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}$

da.

$v^{i}$ 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta ${\dot {x}}^{i}$lehen deribatuak ${\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}}$-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

${\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$

${\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.$

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

$E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}$

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

$L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira. $v_{\parallel }$ eta $v_{\perp }$abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

$v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}$

izango da,

Zuzenketa kuantikoak

Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

$\Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},$

non $\mu$ energia eskala den. Alde batetik, $c_{1},c_{2}$ eta $c_{3}$ koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, $\alpha ,\beta$ eta $\gamma$ koefizienteak kalkulagarriak dira. $\ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)$ operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

$\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).$

Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, ${\mathcal {O}}(G^{2})$ ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:

$ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},$

non

$f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},$

$g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.$

Kanpo estekak

• Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
• Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
• Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations

• Datuak: Q540664