Bariantza
Estatistikan, bariantza datu-multzo batek nahiz probabilitate-banakuntza batek duen sakabanatzearen neurri absolutu bat da. Hain zuzen, bariantzaren erro karratu positiboa desbidazio estandarra da, eta azken honek datu bakoitza batezbesteko aritmetiko sinpletik zenbat desbideratzen den adierazten du. Kalkuluaren aldetik, bariantza batezbestekoari buruzko bigarren mailako momentua ere bada. Aldakortasun edo sakabanatze neurri izateaz gainera, bere propietate matematikoak direla eta, maiz agertzen da azterketa estatistikoetan. Esate baterako, aldagai batek duen aldakortasun-maila bariantzaren bitartez neurtzen da eta bariantza oso hau beste aldagai edo faktore zenbaitek eragindako aldakortasun-mailetan zatitu daiteke, aldagai horren kausak hauteman eta kausa horien eragina zehazteko, bariantza-analisian eta karratu txikienen erregresioan egiten den bezala.
Eduki-taula |
Kalkulua datuetarako[aldatu]
Honela adierazi eta kalkulatzen da, datuak
izanik:
Aurreko formulari jarraiki, pauso hauek jarraitu behar dira kalkulurako:
- batezbesteko aritmetiko sinplea (
) kalkulatu;
, datu bakoitzak batezbestekora duen distantzia alegia, kalkulatu;- batuketa egitean konpentsa ez daitezen, distantzia karratuak kalkulatu;
- distantzia karratu horien batezbestekoa kalkulatzen da, zati n datu kopurua eginez.
Laburrago kalkulatzeko formula bat ere badago, aurreko formulatik erator daitekeena:
Desbideratze estandarra bariantzaren erro karratu positiboa da:
Adibidea datu bakanduetarako[aldatu]
Kalkulurako adibide gisa, azterketa batean ikasle zenbaitek jasotako kalifikazio hauek hartuz (puntutan): 6-7-9-5-3.
| Jatorrizko formula | Formula laburtua | ||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Adibidea maiztasun-tauletatarako[aldatu]
Datuak maiztasun-taula batean bildu direnean, maiztasun-taulatik bertatik egin daiteke kalkulua. Aiseago egiten da formula laburtuarekin, hurrengo adibidean egiten den bezala.
-
-
-
xi(balioak) ni(maiztasunak) nixi nixi2 5 2 10 50 6 3 18 108 8 1 64 64 baturak 6 36 670
-
-
Adibidea tartetan bildutako datuetarako[aldatu]
Datuak tartetan bildu direnean, tarte horietako erdipuntuak hartzen dira kalkuluetarako balio adierazgarri moduan.
-
-
-
Tarteak ni(maiztasunak) xi(balioak) nixi nixi2 0-40 5 20 100 2000 40-80 30 60 1800 108000 80-120 10 100 1000 100000 baturak 45 2900 210000
-
-
Tarte bakoitzean hartutako erdipuntuaren hurbilketak dakarren errorea zuzentzeko Shepparden zuzenketa delakoa erabiltzen da, datuak banakuntza normalari jarraiki banatzen direnean eta tarte-zabalera konstantea denean soilik aplika daitekeena (b, tarte-zabalera):
Kalkulua probabilitate banakuntzetarako[aldatu]
Honela definitzen da,
izanik itxaropen matematikoa:
Banakuntza jarraitua bada, honela kalkulatzen da, integralak X aldagaiaren balioen
eremuan ebaluatu behar direlarik:
, non 
Banakuntza diskretua bada,
aldagaiaren balio eta beren probabilitateak izanik:
, non 
Definizioaren formula garatuz, jatorriari buruzko momentuetan oinarritutako adierazpen batera heltzen da, kalkulurako erosoagoa dena:
Banakuntza diskretu baterako adibidea[aldatu]
0 eta 1 balioak 0.4 eta 0.6 probabilitateaz hartzen dituen probabilitate-banakuntzaren bariantza kalkulatu behar da.
| Jatorrizko formula | Formula laburtua | ||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
Banakuntza jarraitu baterako adibidea[aldatu]
banakuntzaren bariantza kalkulatu behar da,
| Jatorrizko formula | Formula laburtua |
|---|---|
|
|
Bariantzaren propietateak[aldatu]
Bariantza beti da ez-negatiboa[aldatu]
Bariantza ez da inongo kasutan negatiboa. 0 balioa ere har dezake, datu guztiak berdinak direnean nahiz 1 probabilitatea duen konstante baten kasuan.
Bigarren mailako momentu txikiena[aldatu]
Bariantza bigarren mailako momentu txikiena da:
- datuetarako,
adierazpena minimotzen duen
balioa
da; - probabilitate banakuntzetarako,
minimiotzen duen
balioa
da.
Aldagai-aldaketa lineala[aldatu]
aldagai-aldaketa lineala egiten bada,
konstanteak izanik,
- datuen bariantzari buruz,
, - probabilitate-banakuntzen bariantzari buruz,
![var[Y]=b^2var[X]](//upload.wikimedia.org/math/6/2/f/62fac2086052ba3d5cab4b598528bfd2.png)
- datuen bariantzari buruz,
Hau da, datu guztiei (edo zorizko aldagaiari) konstante bat gehitu edo kentzeagatik, bariantzaren emaitza ez da aldatzen, baina konstante batez bidertzean, bariantza bider konstante hori karratura bidertzen da.
Aldagaien baturaren bariantza[aldatu]
aldagaiak elkarrekiko independenteak badira:
Aurreko berdintza aldagaiak elkarrekiko korrelazio linealik gabeak direnean ere betetzen da.
Oro har, independenteak ez badira, bariantzak eta aldagai-bikote guztien kobariantzak gehitu behar dira[1]:
Bi aldagaien kasurako, esate baterako:
Bariantza bi aldagai berdinen arteko kobariantza da[aldatu]
Bariantza kobariantza berezi bat besterik ez da, non kobariantzan parte hartzen duten bi aldagaiak berdinak diren:
Erreferentziak[aldatu]
- ↑ (Ingelesez) Feldman, Richard M.; Valdez Flores, Ciriaco (2010), Applied Probability and Stochastic Processes, Springer, 32. or...

) kalkulatu;
, datu bakoitzak batezbestekora duen 












![\operatorname{var}[X]=\sigma^2_X=E[(X-\mu)^2]](http://upload.wikimedia.org/math/b/f/e/bfe247b90582ecdfeffdbabc25b5e4c8.png)
, non 
, non 
![\operatorname{var}[X]=\sigma^2_X=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2=E[X^2]-E[X]^2](http://upload.wikimedia.org/math/1/8/8/188a849a017af4b4a99d2953f1116b76.png)
![var[X] = E[(X-\mu)^2]=E[(X^2-2\mu X+\mu^2)]=E[X^2]-2\mu E[X]+E[\mu^2]=](http://upload.wikimedia.org/math/0/7/1/0716903a51f9fb0d0d8c48d4a06c13a7.png)
![=E[X^2]-2\mu^2+\mu^2=E[X^2]-\mu^2](http://upload.wikimedia.org/math/b/0/d/b0d277355b83629d2492b1523bd096a8.png)






![E[X^2]=0.6\,](http://upload.wikimedia.org/math/4/1/3/41337afb61fa24d8d409765c1bf010d5.png)
kalkulatzen da.![\sigma^2=E[X^2]-E[X]^2=0.6-0.6^2=0.24](http://upload.wikimedia.org/math/3/4/b/34bb827ef20ea308dc2e6bbb2a879e38.png)
![\mu=E[X]=\int_{\Omega}xf(x)dx=\int_0^1x2xdx=0.66](http://upload.wikimedia.org/math/a/d/3/ad3e675df4aac793037bb7f027a39575.png)

![\mu=E[X]=\int_{\Omega}xf(x)dx=\int_0^1x2xdx=0.666](http://upload.wikimedia.org/math/f/a/b/fabc81da1ee3dc2fec9cc8b3e77e2ce2.png)
![E[X^2]=\int_{\Omega}(x)^2f(x)dx=\int_0^1x^2\cdot 2xdx=0.5](http://upload.wikimedia.org/math/7/3/c/73cec20fac3537ee36d70258c29c352c.png)
![\sigma^2=E[X^2]-E[X]^2=0.5-0.666^2=0.055](http://upload.wikimedia.org/math/7/3/6/7368ae0abad818507eeb2f6e8a49ba18.png)
adierazpena minimotzen duen
balioa
minimiotzen duen
da.
konstanteak izanik,
,![var[Y]=b^2var[X]](http://upload.wikimedia.org/math/6/2/f/62fac2086052ba3d5cab4b598528bfd2.png)
![var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=var[X_1]+var[X_2]+\cdots+var[Xn]](http://upload.wikimedia.org/math/e/0/0/e004bc70787b08aab4ae638587c4e616.png)
![var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=\sum_ivar[X_i]+\sum_i\sum_{j \ne i}cov[X_i,X_j]=\sum_ivar[X_i]+2\sum_i\sum_{j>i}cov[X_i,X_j]](http://upload.wikimedia.org/math/5/5/c/55c24f7a0b6511b9e7f9ff8229f7a57a.png)
![var[X_1+X_2]=var[X_1]+var[X_2]+2cov[X_1,X_2]](http://upload.wikimedia.org/math/5/f/d/5fda6fcf9900bd940d4c9efd2d90c322.png)
![var[X]=cov[X,X]](http://upload.wikimedia.org/math/e/f/d/efda3612e8906a27080ecdd059a621c8.png)