Lankide:Ibai Urteaga/Proba orria

Energia potentziala

Energia potentziala sistema fisiko batek metatuta daukan energiatzat har daiteke. Energia hau askatu egin daiteke edo beste energia mota bat bihur daiteke, esaterako energia zinetikoa. Energia potentziala askatzen denean sistemaren objektuen egoera aldatzeko ahalmena dauka; horregatik deitzen zaio, hain zuzen, energia "potentzial".

Adibidez, errusiar mendiko orga jaisten denean, energia potentziala energia zinetiko bihurtzen da; aldiz orgak goranzko bidea hartzen duenean energia zinetiko hori berriro ere energia potentzial bilakatzen da.

Ikuspegi orokorra

Energia potentzial terminoa William Rankinek asmatu zuen. Energia mota hau existitzen da objektu bat lekuz mugitzen bada eta indar batek objektua bere jatorrizko kokapenera bultzatzen badu. Adibidez, gorputz bat gorantz bultzatzen bada, grabitatearen indarrak beherantz bultzatuko du, bere jatorrizko lekura iritsi arte. Izan ere, energiaren kontserbazioaren printzipioaren arabera, energia ez da ez sortzen ez suntsitzen eta, beraz, ezin da desagertu. Orduan, aurreko adibidean, energia gorputzean metatuta geratzen da. Gorputza askatzen bada, energia potentziala energia zinetiko bihurtuko da.

Definizio formalagoa emanez, energia potentziala kokapenaren energia da, hau da, objektu batek espazioan duen kokapenaren arabera daukan energia. Energia potentziala mota askotakoa izan daiteke, bakoitza indar mota bati lotutakoa. Esaterako, indar elastikoen ondorioz sortutako energiari energia potentzial elastiko deritzo; grabitate indarraren ondorioz sortutakoari, energia potentzial grabitatorioa; Coulomben indarrak sortutakoari, energia potentzial elektriko deritzo; indar nuklear sendoaren edo indar nuklear ahularen ondorioz sortutakoari, energia potentzial nuklearra, etab. Energia potentzial kimikoa, esaterako erregai fosiletan metatutakoa, Coulomben indarraren ondorioz atomo eta molekuletako elektroien eta nukleoen berrantolaketak eragindakoa da. Energia termikoak, esaterako, bi osagai ditu: partikulen ausazko mugimenduaren energia zinetikoa eta partikulen elkarrekiko kokapenaren energia potentziala.

Arau orokor gisa, F indarrak egindako lana ondokoa da:

non  indar jakin horri lotutako energia potentziala den. Energia potentzialerako erabiltzen diren ikur arruntenak PE eta U dira.

Kontuak hartu behar da potentzial elektrikoa (V ikurraren bidez adierazten dena) eta energia potentzial elektrikoa ez direla gauza bera.

Errusiar mendietako higikariek energia potentzial grabitatorio handiena puntu altuenetan lortzen dute. Behera egin ahala energia potentzial grabitatorioa txikitu eta energia zinetikoa handitu egiten da.

Energia potentzial grabitatorioa

Energia potentzial grabitatorioa edozein objektuk duen energia da masa izateagatik eta elkarrekiko distantzia jakin batera kokatuta egoteagatik. Masa handia duten gorputzen artean erakarpen indarrak agertzen dira. Geroz eta masa handiagoa izan, orduan eta elkarrekiko erakarpen indar handiagoa izango dute gorputzek. Eguzki-sistema eredutzat hartuz ikusi dezakegu eguzkiak, masa handiena duela, eremu grabitatorio bat duela eta honek gainontzeko planetekiko eragina duela. Aldi berean planeta bakoitzak bere eremu grabitatorioa sortzen du ere, bere inguruan masa txikiagoko gorputzak (sateliteak) orbitan jarriz.

Bi masa ezberdin suposatuko ditugu, m eta M eta espazioko bi puntu ezberdin, A eta B. m masa M masaren eremu grabitatorioan dagoenez, masa txikiago hau A puntutik B puntura eramateko egin beharreko lana A eta B puntuen artean m masak izango duen energia potentzial diferentzia da.

M masa koordenatu sistemaren jatorrian eremu grabitatorioaren sortzaile suposatzen badugu eta erreferentziatzat infinitua suposatzen badugu, hau da, m masaren energia potentziala nulua den puntua, energia potentziala m masa infinitutik aurretik definitutako A puntura eramateko egin beharreko lana da. A puntua r koordenatuarengatik (A puntutik koordenatuen jatorrira dagoen distantzia) dago definituta.

${\displaystyle W=E_{p_{A}}-E_{p_{\infty }}=}$${\displaystyle \Delta E_{p}=-\int _{\infty }^{A}F_{g}\cdot \,dr=-\int _{\infty }^{A}{\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}\cdot \,dr=G\cdot M\cdot m\cdot \left\lbrack {\frac {1}{r}}\right\rbrack _{\infty }^{A}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r_{A}}}=E_{p_{A}}\qquad \qquad [1]}$

Non:

E_p m masaren energia potentzial grabitatorioa den. Honen balioa r distantziaren menpe dago, hau da, m eta M masen arteko distantzia. M masak eremu grabitatorioa sortzen du eta hau Jouletan (J) neurtzen da. ${\displaystyle F_{g}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}}$ M masarengandik r distantziara dagoen m masarekiko egiten den indar grabitatorioa da eta Newtonetan (N) neurtzen da.

G grabitazio unibertsalaren konstantea da. Bere balioa ${\displaystyle G=6.673\times 10^{-11}\;\left({\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}\right)}{\displaystyle G=6.673\times 10^{-11}\;\left({\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}\right)}$ da.

Azkenik, aipatu bezala, M eta m masak dira eta kilogramotan (kg) neurtzen dira eta R bi masen arteko distantzia da, metrotan (m) neurtua.

[1] ekuazioak m eta M masen energia potentziala ${\displaystyle r_{A}}$ distantziarengatik separaturik daudenean adierazten du. Masa puntualekin zein masa esferikoekin aplika daiteke ekuazioa, bien arteko distantzia masen grabitate zentroen arteko distantzia izanik.

Energia potentziala lurrazaletik gertu

m masa batek duen energia potentziala lurrazalarekiko h altuera batera hurrengoa da:

${\displaystyle \Delta E_{p}=m\cdot g\cdot h\qquad \qquad [2]}$

Ekuazio hau [1] ekuazioaren kasu partikularra da. Ekuazio hau masa lurrazaletik gertu dagoenean da bakarrik erabilgarria. Aurreko hau frogatzeko nahikoa da [1] ekuazioa aplikatzea eta energia potentzialaren aldakuntza altuera ezberdinen artean lurrazalarekiko, ${\displaystyle h_{1}}$ eta${\displaystyle h_{2},(h_{1}\leqslant R_{t},h_{2}\leqslant R_{t}}y{\displaystyle h_{2}>h_{1})}{\displaystyle h_{2}>h_{1})}$, $R_{t}$ Lurraren erradioa izanik.

${\displaystyle \Delta E_{p}=E_{p2}-E_{p1}=G\cdot M\cdot m\cdot \left({\frac {1}{R_{t}+h_{1}}}-{\frac {1}{R_{t}+h_{2}}}\right)=}$${\displaystyle =E_{p2}-E_{p1}=G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {(h_{2}-h_{1})}{R_{t}^{2}+R_{t}\cdot (h_{2}+h_{1})+h_{1}\cdot h_{2}}}\approx G\cdot M\cdot m\cdot {\frac {h_{2}-h_{1}}{R_{t}^{2}}}\qquad \qquad [3]}$

Kasu honetan ${\displaystyle R_{t}\cdot h_{2},R_{t}\cdot h_{1}yh_{1}\cdot h_{2}}$ produktuak oso txikiak dira ${\displaystyle R_{t}^{2}}$-rekin konparatuz, beraz, mespretxatu daitezke [3] ekuazioan.

${\displaystyle g=G\cdot M\cdot {\frac {1}{R_{t}^{2}}}}$ izendatuz hurrengoa lortuko dugu:

${\displaystyle E_{p2}-E_{p1}=m\cdot g\cdot (h_{2}-h_{1})}$

$h_{1}$ energia potentzialen jatorritzat hartzen badugu itsasoaren mailan eta $h_{2}=h$ bezala izendatzen badugu:

${\displaystyle \Delta E_{p}=m\cdot g\cdot h}$

Ihes-abiadura

Ihes-abiadura m masadun gorputz batek eremu grabitatoriotik ihes egiteko behar duen gutxieneko abiadura da.

Grabitazio indarra kontserbatiboa da. m masa baten energia potentziala hurrengoa da:

${\displaystyle E_{p}(r)=-G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}}$

Gorputz batek eremu grabitatorik ihes egin dezan honek izan behar duen energia totala positiboa edo nulua izan behar da, hau da, gorputzak duen energia zinetikoa energia potentzialaren berdina edo hamdiagoa izan beharko du. Atari kasuan ihes-abiadura egongo ginateke kalkulatzen. Kasu partikulartzat Lurra harturik:

${\displaystyle E_{T}=0}$

${\displaystyle E_{t}=E_{c}+E_{p}=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v_{e}^{2}=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r}}}$

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}={\sqrt {2gr}}}{\displaystyle (m/s)}$

non $r$ distantzia erradiala den edota $m$ masadun gorputzaren posizioa eremu grabitatorioa sortzen duen $M$ masarekiko den.

Lurrazaletik ihes-abiadura

${\displaystyle G=6.674\cdot 10^{-11}\;{\cfrac {{\text{N}}\cdot {\text{m}}^{2}}{{\text{kg}}^{2}}}}$

${\displaystyle M_{T}=5,97\cdot 10^{24}}{\displaystyle kg}$

${\displaystyle R=6,37\cdot 10^{6}}{\displaystyle m}$

Datuak ordezkatuz:

${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M_{T}}{R}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^{6}}}}\approx 11,17\cdot 10^{3}}{\displaystyle m\cdot s^{-1}}$

Gorputzaren abiadura ihes-abiadura baina geroz eta handiagoa izan orduan eta errezago egingo du ihes eremu grabitatoriotik.

Gainazal ekipotentzialak

Potentzial grabitatorioa masa unitateko dagoen energia potentziala da:

${\displaystyle V={\frac {E_{p}}{m}}}$

Beraz, hurrengoa lortu daieteke:

${\displaystyle V(r)={\frac {G\cdot M}{r}}}$

Non $V$ masa unitateko energia potentziala den, $M$ masarekiko $r$ distantzia batera. $V$-ren unitateak S.I. ${\displaystyle {\frac {J}{kg}}}$ dira.

G grabitazio unibertsalaren konstantea da.

M eremu grabitatorioa sortzen duen gorputzaren masa da eta $kg$-tan dago neurtua.

M puntuala edota geometria esferikokoa bada gainazal ekipotentzialak (potentzial konstanteko gainazalak) gainazalen familiak definitutako esferen familia dira.

${\displaystyle V_{i}={\frac {G\cdot M}{r_{i}}}=C_{i}\ ,\qquad i=1,2,3...}$

${\displaystyle C_{i}}$ konstante arbitrarioak izanik. Honen balio numerikoak ${\displaystyle r_{i}}$ posizio bakoitzarekiko potentzial grabitatorioa adierazten du.

Energia potentzial grabitatorioaren ereduak

Bola baten animazioa errusiar mendi batean

Errusiar mendia

Errusiar mendi baten irudia plano batean eremu grabitatorio baten barruan dagoen gorputz baten energia potentzialaren $E_{p}$funtzioaren adierazpentzat har daiteke. Orduan eta altuera handiagoa lortzen duenean higikariak orduan eta energia zinetiko $E_{c}$ txikiagoa izango du, beraz, geroz eta mantsoago mugituko da. Funtzioaren maximo erlatiboetan (errusiar mendiaren gailurretan) energia potentzialaren balioa gainontzeko puntuetakoa baino altuagoa da. Puntu hauek oreka mekaniko ezegonkorreko puntu bezala ezagutzen dira, edozein objektu abiadura nulua duena hauetako edozein puntutan jartzen bada mugimendu minimo batekin puntu hauetatik aldenduko delako. Errusiar mendia konformatzen duten minimoei oreka egonkorreko puntuak deritze, higikariak puntu hauetara gerturatzeko joera izango duelako beti. Higikariaren energia mekanikoa $E$ kontserbatu egiten denez:

${\displaystyle E=E_{c}+E_{p}=E_{cmax}=E_{pmax}}$

h altuera lortzen duen pendulo baten animazioa

Pendulua

Pendulua kasu partikulartzat hartuz konproba dezakegu ere energiaren kontserbazioaren printzipioa betetzen dela. Pendulu batek bere mugimenduari esker, posizio baxuenetik neurtuta, $h$ altuera maximoa lortu dezake. Puntu altuenetan (h altuera) energia potentziala maximoa da, penduluaren abiadura nulua da eta norantzaz aldatzen du. Bestalde, posizio baxuena, $P$ deitu daitekeena, energia zinetiko eta abiadura maximoko eta energia potentzial baxueneko puntua da. $P$ posizioa energia potentzialaren jatorritzat hartuko da.