Zatiki (matematika)

1/4 (laurden bat) kenduta duen pastel bat. Beste 3/4ak (hiru laurdenak) geratzen dira.

Aritmetikan, zatikia, frakzioa edo zatikizko zenbakia osotasun baten zati bat adieraz dezakeen zenbaki bat da. Adibidez, 1/2 zatikiak guztirakoa bi zatitan egin eta zati horietako bakoitzaren neurria edo kopurua adierazten du. a/b zatikian, a zenbakitzailea da eta b izendatzailea. a/b zatikia izateko gainera, a eta b zenbaki osoak izan behar dira (horrela 1,56/2 ez da zatikia ). Zatikiei zenbaki arrazional ere deritze, baina zatiki izendapena aritmetikan erabiltzen da gehienbat eta zenbaki arrazional izena matematika abstrakturako uzten da.

Zatikien adierazpena

Zatikiak adierazteko, zenbaki bikote bat osatzen da, goian zenbakitzailea (edo zatikizuna) izeneko zenbakia eta behean izendatzailea (edo zatitzailea) izeneko zenbakia jarriz, marra horizontal batez bereizita. Adibidez, guztirako bat 4 zatitan egin eta bertatik 3 zati adierazteko honela idazten da:

$\frac34$

Zatikiaren esaldi baten barruan idatzi behar denean edo elikagai dendetan (pisuak adierazteko, esaterako) ohizkoa da barra honela erabiltzea: 3/4, 1/4, 1/2 (hiru laurden, laurden bat, erdi bat).

Zatikiak honela irakurtzen dira: zenbakitzailea den zenbaki kardinala irakurtzen da eta ondoren, izendatzailearen zenbaki kardinala, -ren (kardinala bokalez bukatzen bada) edo -en (kardinala kontsonantez bukatzen bada) atzizkia itsasita. Adibidez:

Zatikia	Nola esan
$\frac37$	hiru zazpiren
$\frac{7}{20}$	zazpi hogeiren
$\frac{82}{100}$	laurogeita bi ehunen

Izendatzailea 2 denean, erdi (ez biren) erabiltzen da; 3 denean, heren (ez hiruren), 4 denean, laurden (ez lauren). Adibidez,

Zatikia	Nola esan
$\frac72$	zazpi erdi
$\frac{2}{3}$	bi heren
$\frac{3}{4}$	hiru laurden

Zatiki-motak

Zatiki jatorrak, sasi-zatikiak eta zenbaki nahasiak

Zatiki jatorretan zenbakitzailea txikiagoa da izendatzailea baino. Adibidez, zatiki jatorrak dira 2/3, 3/4 eta 7/20.

Sasi-zatikietan, berriz, zenbakitzailea handiagoa da izendatzailea baion eta horrela zatikiak unitatea edo guztirakoa baino balio hadiagoa du. Adibidez, sasi-zatikiak dira 4/2 (=2), 7/5 eta 20/6.

3/4 zatiki jator bat da, bere balioa unitatea baino txikiagoa delako.

7/3 sasi-zatiki bat da, bere balioa unitatea baino handiagoa delako.

Sasi-zatikiak zenbaki nahasi gisa idatz daitezke, zati oso bat eta zatiki jator bat bereiziz. Adibidez, honela bihurtzen da sasi-zatiki bat zenbaki nahasi (ikus arestiko irudia):

$\frac{7}{3}=2+\tfrac13=2\tfrac13$

Zatiki baliokideak

Zatiki baliokideak balio berdina adierazten duten zatikiak dira. Zatiki bateko izendatzailea eta zenbakitzailea zenbaki berdinaz biderkatzen (edo zatitzen) bada, emaitza aurrekoaren zatiki baliokide bat izango da. Adibidez,

2/3 × 2/2 = 4/6. 2/3 eta 4/6 zatiki baliokideak dira.

Eskuarki, z/i eta z'/i' zatikiak (z:zenbakitzaile, i: izendatzaile) baliokideak dira baldin eta zi'=iz' betetzen bada.

4/6=6/9 (zatiki baliokideak dira), 4 × 9 = 6 × 6 betetzen baita (bi zatikietako zenbakiak gurutzatuta biderkatzen dira).

Zatiki laburtezinak

Zenbakitzailea zein zatitzailea 1 ez den zenbaki berberaz zatitzen direnean ere sortzen da zatiki baliokide bat. Horrelako zatiketarik ezin denean egin (zenbakitzailea eta izendatzailea 1 ezik faktore komunik ez dutenean gertatzen da hau), zatiki laburtezina izenekora heldu dela esaten da. Adibidez, 3/9 ez da zatiki laburtezina 3 zenbakiaz zatitu baitaitezke zenbakitzailea eta izendatzailea: 3:3/9:3=1/3. 3/8 bai dela zatiki laburtezina, 3 eta 8 zenbakiek ezin baitira 1 zenbakia ez den beste zenbaki batez zatitu (ez dute 1 ezik faktore komunik).

Zatiki baten zatiki laburtezina lortzeko, zenbakitzailea eta izendatzailea zatitzaile komunetan handienaz zatitu behar dira. Adibidez, 63/462 zatikian, 63 eta 462 zenbakien zatitzaile komunetan handiena 21 denez, 63 eta 462 zenbakiak 21 zenbakiaz zatituz, 63/462 zatikiaren baliokidea den 3/23 zatiki laburtezina lortzen da:

$\frac{63}{462} = \frac{63 \div 21}{462 \div 21}= \frac{3}{23}$

Zatiki laburtezina lortzeko beste metodo bati jarraiki, zenbakitzailea eta izendatzailea faktore primotan garatu eta ondoren, zatikien biderketetarako erregelak erabiliz, faktore primo komunak ezabatzen dira. Adibidez,

$\frac{30}{140}=\frac{2 \times 3 \times 5}{2 \times 2 \times 5 \times 7}=\frac{3}{2 \times 7}=\frac{3}{14}$

Halaber, zatikiak laburtzeko beste metodo sinple eta azkarra zenbakitzailetik eta izendatzailetik 0 kopuru berdina kentzea da. Adibidez:

$\frac{200}{3000}=\frac{2}{30}$

Zenbaki osoak zatiki moduan

Zenbaki oso guztiak adieraz daitezke zatiki moduan, izendatzaile moduan 1 jarriz. Adibidez:

$17= \frac{17}{1}$

Alderantzizko zatikiak

Zatiki baten alderantzizkoa beste zatiki bat da, zenbakitzailea eta izendatzailea aldatuta dituena. Adibidez, 3/7 zatikiaren alderantzizkoa 7/3 da.

Zatiki bat eta bere alderantzikoa biderkatzen badira, emaitza 1 da.

Izendatzaileko komuneko zatikiak

Zatikien arteko zenbait eragiketa burutzeko, gehiketa esaterako, zatikiek izendatzaile komun edo bera izan behar dute. Horrela ez bada, zatikien zatiki baliokide batera aldatu behar da, beste zatikiaren izendatzaile berdina izango duena. Adibidez, 3/4 eta 1/6 zatikien batuketa egin behar bada, biak izendatzaile bera izango duten zatiki baliokideetara aldatu behar dira. Adibidez, lehenengo zatikiaren zenbakitzailea eta izendatzailea bider 3 eginez eta bigarrenean bider 2 egiten bada:

$\frac34+\frac16=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}$

Izendatzaile komuna lehenengoan bider 6 eta bigarrenean bider 4 eginez ere lor daiteke:

$\frac34+\frac16=\frac{18}{24}+\frac{4}{24}$

Zatiki baliokide egokiena kasu hauetan, zenbaki handiak suerta ez daitezen, bi zatikien izendatzaile komun txikienekoa da. Aurreko kasuan adibidez, 12 baino izendatzaile komun txikiagorik ez dago (24 esaterako, handiagoa da) eta bera da hasierako bi zatikien izendatzaile komun txikiena.

Zatikien arteko eragiketak

Zatikien erkaketa

Bi zatiki erkatzeko bata bestea baino handiagoa den adierazten da.

• Bi zatikiek izendatzaile berdina badute, txikiena zenbakitzaile txikiena duena da:

Bi zatitzaileek izendatzaile berdina dute (7). 2 5 baino txikiagoa denez (2<5) betetzen denez, 2/7 txikiagoa da 5/7 baino (2/7<5/7).

• Bi zatikiek zenbakitzaile berdina badute, handiena izendatzaile txikiena duena da:

Bi zatitzaileek zenbakitzaile berdina dute (2). 3 5 baino txikiagoa denez (3<5) betetzen denez, 2/3 handiagoa da 2/5 baino (2/3>2/5).

• Bi zatikiek zenbakitzaile eta izendatzaile ezberdinak badituzte, izendatzaile komuneko zatiki baliokideetara aldatu behar dira biak. Bi zatiki baliokideek izendatzaile bera izango dutenez, zenbakitzaile handiena duena izango da handiena, arestian esan bezala. Adibidez, 1/4 eta 2/5 erkatu behar badira biak izendatzaile komun batera bihurtzen dira:

$\frac14\rightarrow\frac{5}{20}$

$\frac25\rightarrow\frac{8}{20}$

Eta orduan, zenbakitzaileak erkatuz:

$5<8\rightarrow\frac{5}{20}<\frac{8}{20}$

Eta beraz, 1/4 2/5 baino txikiagoa da (1/4<2/5)

Zatikiek adierazten duten zatiketa eginez eta horrela zatikiak zenbaki hamartar bihurtuz ere erka daitezke zatikiak. Adibidez:

$\frac14=0.25$

$\frac25=0.4$

0.25 zenbaki hamartarra 0.4 baino txikiagoa denez, dagokion 1/4 zatikia 2/5 baino txikiagoa da.

Zatikien batuketa

Izendatzaile bereko zatikien batuketa

Batu beharreko bi zatikiak izendatzaile berekoak direnean, baturaren zenbakitzailea batugai diren zatikien zenbakitzaileen batura da eta bere izendatzailea batugai diren zatikien izendatzaile berdina:

$\frac24+\frac34=\frac54=1\tfrac14$

Izendatzaile ezberdineko zatikien batuketa

1/2 eta 1/4 zatikiak ezin dira zuzenean batu, zati ezberdinak direlako. Batu ahal izateko, aurretik zati berdinetara, izendatzaile komun batera alegia, bihurtu behar dira:1/2+1/4=4/8+2/8=6/8.

Batu beharreko bi zatikiek izendatzaile ezberdina ez badute, lehendabizi biak izendatzaile komuneko zatiki baliokideetara aldatu behar dira eta ondoren, izendatzaile bera izango dutenez, zenbakitzaileak batu:

$\frac12+\frac14=\frac48+\frac28=\frac68$

edo,

$\frac12+\frac14=\frac{8}{16}+\frac{4}{16}=\frac{12}{16}$

Ohartu behar da 6/8=12/16 betetzen dela (12/16 zatikia 6/8 zatikiaren zatiki baliokide bat baita, zenbakitzailean eta izendatzailean bider 2 eginez suertatzen dena) eta beraz, emaitza berdina dela modu batera edo bestera eginda.

Izendatzaile komun batera bihurtzerakoan, izendatzaile komun guztietan izendatzaile komun txikiena hobesten da, horrela baturan zenbakitzaile eta izendatzaile txikiagoak suertatzen direlako. Adibidean, 8 izendatzailea (6/8 emaitza ematen duena) hobesten da, 16 aldean (12/16 emaitza ematen duena).

1/6 eta 4/9 zatikien izendatzaile komun txikiena 18 da. Izendatzaile komun horretara bihurtuz, batuketa erraza da:1/6+4/9=3/18+8/18=11/18.

Batuketarako formulak

Oro har, bi zatikien batuketa formula honi jarraiki egin daiteke:

$\frac{a}{b} + \frac {c}{d} = \frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd}=\frac{ad+cb}{bd}$

Adibidez:

$\frac{4}{5} + \frac {2}{7} = \frac{4 \times 7}{5 \times 7}+\frac{2 \times 5}{7 \times 5}=\frac{4 \times 7 + 2 \times 5}{7 \times 5}=\frac{38}{35}$

Hiru zatikien batura egin behar bada berriz:

$\frac{a}{b} + \frac {c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a(df)+c(bf)+e(bd)}{bdf}$

Formula hauek ez dute oro har izendatzaile komun txikiena erabiltzen batuketa kalkulatzeko eta beraz, ez dute batura zatiki laburtezin moduan emango.

Zatikien kenketa

Zatikien kenketa zatikien batuketa bezala egiten da, beharrezkoa bada izendatzaile komun batera bihurtuz, baina zenbakitzaileen batuketa egin ordez, zenbakitzaileen kenketa egin behar da. Adibidez,

$\frac23-\frac12=\frac46-\frac36=\frac16$.

5/7-3/7=2/7 kalkulatzeko, aski da zenbakitzaileen kenketa egitea, izendatzailea berdina baita.

Biderketa

Biderketa zenbaki oso batez

Zatiki eta zenbaki oso bat biderkatu behar direnean, zenbaki osoa eta zenbakitzailea biderkatzen dira, izendatzailea bere horretan utziz:

$3 \times \frac14=\frac34$

Adibidez, pastel baten laurdena (1/4) hirukoizten bada, pastelaren hiru laurden (3/4) suertatuko da.

Bi zatikien biderketa

Bi zatiki biderkatu behar badira, bi zatikien zenbakitzaileak eta izendatzaileak bidekartzen dira hurrenez hurren:

$\frac14 \times \frac13=\frac{1}{12}$

Izan ere, laurden bateko pastelaren herena hartzen da, pastelaren bat hamabiren suertatuko da.

Laburpenak

Biderkatu beharreko bi zatikietan, bateko zenbakitzailea eta besteko izendatzailea berdinak direnena, biak ezaba daitezke eta horrela biderketa erraztu eta emaitza laburtu egiten da. Adibidez, biderketa honetan 3 zifrak ezaba daitezke, zenbakitzailean zein izendatzailean agertzen baitira:

$\frac23 \times \frac37= \frac27$

Zatiketa

Bi zatikien zatiketa (:) egiteko, lehenengo zatikia bigarren zatikiaren alderantzikoaren zatikiarekin biderkatzen da:

$\frac34:\frac25=\frac34 \times \frac52=\frac{15}{8}$

Zatiketa zenbaki oso baten eta zatiki baten artekoa bada, zenbaki osoa zatiki moduan adierazi eta aurreko erregela erabiltzea da errazena. Adibidez:

$\frac34:2=\frac34:\frac21=\frac34 \times \frac12=\frac38$

Eskuarki hau da, beraz, zatiketarako erregela:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$

Zatikiek zenbakitzaile edo izendatzaile berdinak badituzte, erregela laburrago eman daiteke, zenbakitzaileko eta izendatzaileko faktoreak ezaba daitezkeela kontuan hartuz:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{b}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}$

$\frac{a}{b}:\frac{a}{c}=\frac{ac}{ba}=\frac{c}{b}$

Zatiki-zenbaki hamartar bihurketa

Zatiki→zenbaki hamartar

Zatiki bat zenbaki hamartarrez adierazteko aski zatikiak adierazten duen zatiketa burutzea:

$\frac34=0.75$

Zatiketa horrela garatzen da (3 4 artean zenbaki oso batez ezin denez zatitu, 0 jartzen da 4 azpian eta 3 zatikizunari 0ak gaineratzen zaizkio zatiketa burutu arte):

$3.00 \,$		$4 \,$
$\underline{2\ 8} \,$		$0.75 \,$
$0\ 20 \,$
$\underline{0\ 20} \,$
$0 \,$

Zatiki bati dagokion zenbaki hamartarra zehatzak (edo finituak) edo periodikoa dela froga daiteke.

Zenbaki hamartar→zatiki

Zenbaki hamartar finitu edo periodiko bati beti dagokio zatiki sortzaile bat (0,125=1/8 ; 0,222...=2/9).

Zenbaki hamartarra finitua bada, aski da zenbaki hamartarra 10eko berreketa egokiaz biderkatzea eta zatitzea. Adibidez,

$0.125=\frac{0.125 \times 1000}{1000}=\frac{125}{1000}$

Zenbaki hamartarra periodikoa bada, dagokion zatiki sortzailea kalkulatzeko metodoa konplexuagoa da: ikus Periodiko (zenbaki).

Pedagogia tresnak

Zatikiak haurrei erakusteko, tamaina eta kolore ezberdineko Cuisenaire zotzak erabili izan dira. Zotz hauen bitartez zatikien batuketak eta kenketak modu argi eta adierazgarri batez azal daitezke. Zotz hauen ordez, koloretako paper sorta luzeak, tamaina ezberdinetakoak, erabil daitezke. Egun gainera, zatikiak metodo hauen bitartez erakusteko software erraz eta erakargarriak daude.

Kanpo loturak

• (Ingelesez) Zatikiak ikasteko softwarea, Cuisenaire zotzak erabiliz
• (Ingelesez) Cuisenaire zotzak erabiltzeko applet bat